Задание №175261: Геометрия

3. Один и тот же прямоугольник является сечением двух разных кубов. Каково максимально

возможное отношение объёмов этих кубов? ( А. А. Теслер)
√
Ответ: 2 2.
Решение. Сначала докажем, что любое прямоугольное сечение 𝛼 перпендикулярно одной из
граней куба. Обозначим через 𝛽 и𝛾 грани куба, пересекающие 𝛼 по соседним сторонам, тогда
обязательно 𝛽 ⊥ 𝛾. Если 𝛼 ∩ 𝛽 ⊥ 𝛾, то 𝛼 ⊥ 𝛾. Иначе проведём прямую ℓ через точку 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾
в плоскости 𝛽 перпендикулярно 𝛽 ∩𝛾. Тогда пересекающиеся прямые ℓ и 𝛼 ∩ 𝛽 ортогональны

23


𝛼 ∩𝛾, поэтому 𝛼 ∩𝛾 — прямая, ортогональная всей плоскости 𝛽 (проходящей через ℓ и 𝛼 ∩ 𝛽),
откуда 𝛼 ⊥ 𝛽.
Теперь посмотрим в проекции на грань куба, перпендикулярную сечению. Одна из сторон
√
прямоугольника равна ребру куба (𝑎), а другая от 0 до 𝑎 2. Если у прямоугольника отношение
√
сторон больше 2, то ребро куба равно длинной стороне (то есть единственно, что не соответ-
ствует условию), а если нет, то два варианта ребра (равно либо длинной, либо короткой стороне
√
сечения). Максимальное отношение этих вариантов равно 2, откуда отношение объёмов —
√
2 2.
Такие сечения действительно существуют. В меньшем кубе возь-
мём сечение, проходящее через пару противоположных рёбер, а
в большем — сечение, проходящее через середины двух рёбер с
общей вершиной и параллельное третьему ребру с этой же вер-
шиной.
Критерии. Существование примера оценивается в 1 балл, оценка в 5 баллов. Если в оценке использу-
ется, что любое прямоугольное сечение параллельно ребру куба, то доказательство этого факта стоит 3
балла.