Задание №175263: Геометрия

5. Если в волшебный автомат ввести натуральное число 𝑛 > 1, то он строит клетчатый квад-

рат 𝑛 × 𝑛, удаляет из него одну клетку и рисует такие фигуры до тех пор, пока их суммарная
площадь не станет равна площади какого-нибудь клетчатого квадрата. Сторону этого ново-
го квадрата автомат возвращает обратно. Например, по карточке с цифрой 5 автомат строит
квадрат 5 × 5 без одной клетки, повторяет его 6 раз (получается 144 клетки, что равно 122) и
возвращает число 12. Всего автомат работал 10 раз. Может ли количество цифр в числе на по-
следней получившейся карточке быть в 1024 раза больше, чем на изначальной?
( П. Д. Муленко, А. А. Теслер)

Решение.
Если при каком-то срабатывании автомата из числа 𝑎 получается 𝑎2 −1 и это срабатывание не
последнее, то при следующем срабатывании получится число не больше

√︁ (𝑎2 − 1)((𝑎2 − 1)2 − 1) = 𝑎3 − 𝑎 < 𝑎3.

𝑎2 − 1 𝑎2
Если же из 𝑎 получается меньшее число, то оно будет не больше < .
2 2

24


Пусть изначально было 𝑘-значное число 10𝑘−1 ⩽ 𝑎 < 10𝑘 (где 𝑘 ⩾ 1), а через 10 срабатываний
0
автомата получилось 1024𝑘-значное число. Тогда на каждом шаге количество цифр обязано
удваиваться. Если на каком-то шаге из 𝑎 𝑠 получилось 𝑎 𝑠+1 = 𝑎 𝑠 2 − 1 и 𝑠 < 9, то

𝑎 < 𝑎3 < 103·2𝑠𝑘 ⩽ 104·2𝑠𝑘−1,
𝑠+2 𝑠
𝑎2 𝑎8
чего не может быть. Тогда 𝑎 < 𝑠 для всех 0 ⩽ 𝑠 ⩽ 9, то есть 𝑎 < 0 < 108𝑘−1.
𝑠+1 2 3 27
Критерии. За оценки на результат одного или двух срабатываний автомата (кроме тривиальной
⩽ 𝑎2 − 1) даётся от 1 до 3 баллов.