Через точку X проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные 120◦. Окружность w радиуса R выбирается произвольным образом так, чтобы точка X лежала внутри неё. Пусть A, …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 11

Задание №11 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC точки M, N — середины сторон AB, AC соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе AL пересекает биссектрисы углов B и C в точках P, Q соответственно. До…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 11

Задание №11 · Математика · Олимпиада

Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC; E, F — такие точки на сторонах AB, AC соответственно, что AEHF — параллелограмм; X, Y — точки пересечения прямой EF с описанной…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 11

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11 класс ВАРИАНТ 7 ШИФР Заполняется ответственным секретарём Бланк задания должен быть вложен в работу. Работы без вложенного задания не проверяются. 1. [3 балла] Найдите количеств…

Уравнения · Олимпиадный

→№ 11.1

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.1. Можно ли 2026 чисел 1 + 2, 1 + 2 2, . . . , 1 + 2026 2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?…

Дроби · Олимпиадный

→№ 11.2

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.2. Медианы остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. На стороне BC отмечены точки K и N так, что BK = KN = NC. Высоты треугольника MKN пересекаются в точке H. Дока…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 11.3

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.3. На олимпиаду приехало несколько участников из n > 1 регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). Выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы т…

Задание 11.3 · Олимпиадный

→№ 11.4

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.4. Пусть P (x) — многочлен степени n с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корн…

Задание 11.4 · Олимпиадный

→№ 11.5

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.5. Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами (a , b ), в другую точку i i …

Уравнения · Олимпиадный

→№ 11.6

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.6. На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа a найдутся хотя бы k пар выписанных чисел b < c, для которы…

Задание 11.6 · Олимпиадный

→№ 11.7

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.7. Сфера с центром в точке I вписана в тетраэдр ABCD и касается его граней BCD, CDA, DAB, ABC в точках A , B , C , D 1 1 1 1 соответственно. Отрезок A B пересекает плоскость C D…

Задание 11.7 · Олимпиадный

→№ 11.8

Задание №11 · Математика · Олимпиада

11.8. Даны нечётные числа a b, большие 1. На клетчатую плоскость (сторона клетки равна 1) выложены по линиям сетки салфетки в форме квадратов 2 × 2 так, что каждая клетка накрыта н…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 12

Задание №12 · Математика · Олимпиада

Вершины прямоугольного треугольника ABC — точки с целыми координатами. Вписанная в треугольник окружность с центром I касается сторон AB, BC в точках C′, A′ соответственно. Прямые …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 12

Задание №12 · Математика · Олимпиада

Даны окружности ω и ω . Пусть M — середина отрезка, соединяющего их 1 2 центры. На ω выбрана точка X, а на ω — точка Y так, что MX = MY . Найдите 1 2 геометрическое место середин о…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 12

Задание №12 · Математика · Олимпиада

Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦, пересекаются 1 1 в точке I. Описанные окружности треугольников ABC, A IC пересекаются в точке 1 1 P. Докажите, что прямая …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 13

Задание №13 · Математика · Олимпиада

Пусть A :::A — выпуклый многоугольник. Вершины двух замкнутых лома- 1 n ных — A ;:::;A в некотором порядке. Чему равно наибольшее возможное отноше- 1 n ние их длин?…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 13

Задание №13 · Математика · Олимпиада

Дан выпуклый 2n-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движении от одной к другой по контуру 2n-угольника…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 13

Задание №13. Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?

Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 13

Задание №13 · Математика · Олимпиада

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, а угол C в полтора раза больше угла A. Диагональ AC делит угол C на два угла. Определите, какой из них больше?…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 14

Задание №14 · Математика · Олимпиада

Дан треугольник ABC(AB < AC). На луче BA отмечена точка P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB. На прямую PQ опустили перпендикуляры BB и CC . Докажите, что одна и…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 14

Задание №14 · Математика · Олимпиада

На биссектрисе угла B внутри треугольника ABC отметили точку D. Пусть ω и ω — окружности, касающиеся прямых AD и CD в точке D и проходящие 1 2 через точку B; P и Q — отличные от B …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 14

Задание №14 · Математика · Олимпиада

Вписанная окружность ! прямоугольного треугольника ABC касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке F. Из середины O гипотенузы AB проведена касательная OE к …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 14

Задание №14 · Математика · Олимпиада

Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки O. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг O неч¨етно. (Числом оборотов вокруг …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 15

Задание №15 · Математика · Олимпиада

Докажите, что точка Нагеля треугольника лежит на его вписанной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы двух углов высекают на стороне треугольника Жергонна, отсекающей т…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→