Задание №172530: Уравнения
11 класс ВАРИАНТ 7 ШИФР Заполняется ответственным секретарём Бланк задания должен быть вложен в работу. Работы без вложенного задания не проверяются. 1. [3 балла] Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 9261. Ответ необходимо представить в виде целого числа. √ 2. [5 баллов] Решите уравнение cos9𝑥 − cos5𝑥 − 2cos4𝑥 + sin9𝑥 + sin5𝑥 = 0. 3. [5 баллов] Решите систему уравнений {︃ (𝑥2𝑦4) −ln𝑥 = 𝑦ln(𝑦/𝑥7) , 𝑦2 − 𝑥𝑦 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 4𝑦 = 0. 4. [5 баллов] Сфера с центром 𝑂 вписана в трёхгранный угол с вершиной 𝑆 и касается его граней в точках 𝐾, 𝐿, 𝑀 (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол 𝐾𝑆𝑂 и площадь сечения трёхгранного угла плоскостью 𝐾𝐿𝑀, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой 𝑆𝑂, равны
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Уравнения» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
- Организатор
- МФТИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Уравнения» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
11
Рис. 1: вариант 13, задача 4
Решение. а) Пусть радиус сферы равен 𝑅. Обозначим точки пересечения прямой 𝑆𝑂 со сферой
через 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит на отрезке 𝑆𝑂, а 𝑄 – вне него). Треугольники 𝑂𝐾𝑆, 𝑂𝐿𝑆 и 𝑂𝑀𝑆
прямоугольные (углы при вершинах 𝐾, 𝐿, 𝑀 прямые, так как касательные перпендикулярны
радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе
(𝑂𝐾 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝑀 = 𝑅, 𝑆𝑂 – общая), следовательно, ∠𝐾𝑆𝑂 = ∠𝐿𝑆𝑂 = ∠𝑀𝑆𝑂 (обозначим
эти углы через 𝛼; sin𝛼 = 2); высоты, опущенные из точек 𝐾, 𝐿, 𝑀 на гипотенузу 𝑆𝑂, равны,
Используемые формулы
(𝑂𝐾 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝑀 = 𝑅, 𝑆𝑂 – общая), следовательно, ∠𝐾𝑆𝑂 = ∠𝐿𝑆𝑂 = ∠𝑀𝑆𝑂 (обозначимsin𝛼 = 2);
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.