Задание №149676: Задание 11.7

11.7. Сфера с центром в точке I вписана в тетраэдр ABCD и касается его граней BCD, CDA,
DAB, ABC в точках A , B , C , D соответственно. Отрезок A B пересекает плоскость
1 1 1 1 1 1
C D I в точке E. Докажите, что середина ребра AB лежит в плоскости CDE.
1 1
Решение 1. Проведем через точку E прямую, параллельную AB. Пусть она пересечет
плоскости BCD и ACD в точках A и B соответственно. Тогда точки A,A ,B,B лежат
0 0 0 0
в одной плоскости, поэтому лучи AB и BA пересекаются в некоторой точке X на ребре
0 0
CD. Мы далее докажем, что E — середина A B , а тогда, поскольку AB ∥ A B , то
0 0 0 0
на прямой XE будет лежать середина отрезка AB, при этом по построению прямая XE
содержится в плоскости CDE, то есть задача будет решена.
Поскольку IC ⊥ ABD и ID ⊥ ABC, то плоскость ID C перпендикулярна прямой
1 1 1 1
AB, а тогда и прямой A B . Следовательно, IE ⊥ A B . Далее можно рассматривать
0 0 0 0
лишь точки I,A ,B ,A ,B ,E (см. рисунок справа).
1 1 0 0
′ ′
Обозначим через A и B проекции точек A и B соответственно на плоскость IA B .
0 0 1 1
′ ′
Тогда по теореме о трех перпендикулярах точки A ,B ,E лежат на одной прямой, пер-
пендикулярной IE, а также ∠B ′ B I = 90 ◦ = ∠A ′ A I. Значит, точки I,A ,A ′ ,E лежат
1 1 1
′ ′ ′
на окружности с диаметром A I, а точки I,B ,B ,E — на окружности с диаметром B I,

Ответ: Сфера с центром в точке I вписана в тетраэдр ABCD и касается его граней BCD, CDA,