Олимпиада Математика

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. Назовём горой усечённый прямой круговой конус 2 с длиной окружности нижнего основания 8, а верхнего основания — 6. Склон горы наклонён под углом 60◦ к плоскости основани…

ОММО 2019 · Олимпиадный

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, а высота — a/2. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса a/3 c центр…

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В конус вписан цилиндр объема 21. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 91. Найдите объем исходного конуса. Ст…

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В конус вписан цилиндр объема 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 63. Найдите объем исходного конуса. Стр…

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA BC D с рёбрами AB = 3, AD = 4 и 1 1 1 1 AA =10 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ AC , и 1 1 плоскостью…

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA BC D с рёбрами AB = 6, 1 1 1 1 AD =15 и AA = 8 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ AC и 1 1 плоскостью, …

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D с рёбрами AB = 20 , AD =12 и 1 1 1 1 AA = 5 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ BD , и плоско- 1 1…

Задание №10 · Математика · Олимпиада

Задача 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA BC D с рёбрами AB = 3, AD = 4 и 1 1 1 1 AA = 5 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ AC , и плоско- 1 1 ст…

Задание 10.2 · Олимпиадный

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество во…

Задание 10 · Олимпиадный

→№ 10.1

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.1. Можно ли 2026 чисел 1 + 2, 1 + 2 2, . . . , 1 + 2026 2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?…

Дроби · Олимпиадный

→№ 10.2

Задание №10.2. 10.2. Последовательность натуральных чисел a , a , . . . удовлетворя- 1 2 ет равенству

10.2. Последовательность натуральных чисел a , a , . . . удовлетворя- 1 2 ет равенству…

→№ 10.3

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.3. Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O, а его высоты пересекаются в точке H. Касательные к окружности (BHC) в точке B, к окружности (A…

Задание 10.4 · Олимпиадный

→№ 10.4

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.4. Даны натуральные числа m и k, причём m > 100 и 1 < k < 2m. Изначально в ряд выложены 2m пластилиновых шариков, каждый шарик имеет массу 1. Петя и Вася играют в игру, делая 2m…

→№ 10.5

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.5. Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?…

Задание 10.6 · Олимпиадный

→№ 10.6

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.6. В стране ровно 1000 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними авиалиниями. Известно, что для любого на- ⩽ турального k 500 выполнено следующее утверждение: «Есл…

→№ 10.7

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.7. На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого …

→№ 10.8

Задание №10 · Математика · Олимпиада

10.8. Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон a, b и c. Докажите, что хотя бы одно из чисел ab + 1, bc + 1 и ca + 1 не является полным квадратом.…