Задание №176403: ОММО 2019

Задача 10. Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной 3
окружности нижнего основания 10, а верхнего основания — 9. Склон
горы наклонён под углом 60◦ к плоскости основания. На окружности
нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону
из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжа-
ет свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 3 (см.
рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом.
Чему равна длина обратного пути?
A
√
Ответ: 5 3
π
Решение. Обозначим (см рисунок слева) вершину конуса буквой Q, центр меньшего основания —
T, точку на верхнем основании, ближайшую к A — B, начальную точку обратного маршрута — C.
Пусть D — последняя точку обратного маршрута на окружности верхнего основания (возможно, D
совпадает с C или B). Угол ∠DTC обозначим за α.









Рассмотрим развёртку боковой поверхности конуса (см рисунок справа), верхнее основание при-
ложим к точке D так, чтобы оно касалось развёртки боковой поверхности. Сохраним обозначения

точек, а в случае раздвоения используем индексы (так, к примеру, точки C и C на рисунке справа
1 2
соответствуют точке C на рисунке слева). Любая дуга окружность верхнего основания переходит в


11

ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант II


дугу окружности в два раза большего радиуса, поскольку QB = TB = 2TB. Значит, угловая мера
cos60◦
будет уменьшаться в два раза. В частности, окружность верхней грани перейдет в полуокружность,
т.е. боковая поверхность перейдёт в часть плоскости, ограниченной двумя концентрическими полу-
окружностями и диаметром, проходящим через их концы, QD будет диаметром верхнего основания.
Угол ∠DQC = ∠DTC1 = α. По сказанному выше, угловые меры дуг DC
1 2 2 1
) и DC
2
) относятся 2 : 1.
Это значит, что ∠DQC = ∠DTC1 = α. Тогда ∠DQC = ∠DQC , а потому точка C лежит на прямой
2 2 2 1 2 1
QC . Учитывая, что QD — диаметр, получаем, что C — основание перпендикуляра, опущенного из
2 1
точки D на прямую QC . Тогда длина маршрута, идущего по верхнему основанию (рисунок слева)
2
из C в D и по боковой поверхности из D в A будет не меньше длины ломаной (рисунок справа)
C DA и не меньше длины перпендикуляра, опущенного из A на прямую QC .
1 1 1 2
Докажем, что существует маршрут равный длине этого перпендикуляра. Для этого достаточно
показать, что проекция точки A лежит на отрезке QC , поскольку в этом случае перпендикуляр
1 2
пересекает полуокружность B C B . Точка пересечения дает точку D для кратчайшего маршрута,
1 2 2
а перпендикуляр изображает на развертке кратчайший маршрут. Так как путь по краю верхнего
основания составляет треть длины окружности верхнего основания, то ∠B QC = 60◦. Тогда отно-
1 2
шение QC к QA равно отношению длин окружностей нижнего и верхнего оснований и равно 9 , что
2 1 10
больше cos60◦. Значит проекция QA на прямую QC меньше длины отрезка QC , что и требовалось.
1 2 2
Радиус нижнего основания R = 10. Тогда QA = R = 10. Из прямоугольного треугольника
2π cos60◦ π
(рисунок 2) длина перпендикуляра равна
√ √
3 5 3
QA · sin∠B QC = QA · sin60◦ = QA · = .
1 1 2 1
2 π






















12

ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант III


Вариант III
23 41 71