Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаОММО 2015Олимпиадный

Задание №176235: ОММО 2015

Условие

Задача 10. В конус вписан цилиндр объема 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 63. Найдите объем исходного конуса. Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo Объединенная межвузовская математическая олимпиада 01.02.2015 III вариант

📎 ommo2015-var11.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Год материала
2015
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаОММО 2015ОММО 2015 · тип 10анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 155 и 13 соответственно, а ее диагонали
−−→ −−→
взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов AD и BC.
Ответ: 2015.
Решение. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Из подобия треугольников AOB и
−→ −→ −−→ −−→
COD следует, что OC = 13 AO, а OD = 13 BO.
155 155
5

ОММО 01.02.2015 ответы и краткие решения Вариант II

−→ −−→
(cid:126) (cid:126)
Обозначим вектор AO через (cid:126)a, а вектор BO через b. Тогда, из условия следует, что ((cid:126)a,b) = 0 и
−−→ −→ −−→ 13 −−→ −−→ −→ 13
(cid:126) (cid:126)
AD = AO + OD = (cid:126)a + b, BC = BO + OC = b + (cid:126)a.
155 155
Откуда
(cid:18) (cid:19)
−−→ −−→ 13 13 13 13
(AD,BC) = (cid:126)a + (cid:126) b, (cid:126) b + (cid:126)a = (|(cid:126)a|2 + | (cid:126) b|2) + (...) · ((cid:126)a, (cid:126) b) = |AB|2 = 2015,
155 155 155 155
где предпоследнее равенство следует из того, что треугольник AOB — прямоугольный.

Используемые формулы

  • COD следует, что OC = 13 AO, а OD = 13 BO.
  • Тогда, из условия следует, что ((cid:126)a,b) = 0 и
  • AD = AO + OD = (cid:126)a + b, BC = BO + OC = b + (cid:126)a.
  • (AD,BC) = (cid:126)a + (cid:126) b, (cid:126) b + (cid:126)a = (|(cid:126)a|2 + | (cid:126) b|2) + (...) · ((cid:126)a, (cid:126) b) = |AB|2 = 2015,

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: