Задание №176234: ОММО 2015
Задача 9. В турнире по минифутболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении 1 : 2 (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду и плюс двукратную сумму, т.е. получает в три раза больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении 1 : 3, на третью — 1 : 4, на четвертую — 1 : 7. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. Четырехзначное число X не кратно 10. Сумма числа X и числа, полученного из X
перестановкой его второй и третьей цифр, делится на 900. Найдите остаток от деления числа X
на 90.
Ответ: 45.
Решение. Пусть X = abcd = 1000a + 100b + 10c + d, Y = acbd = 1000a + 100c + 10b + d, при этом a,
b, c, d — цифры и a (cid:54)= 0, d (cid:54)= 0.
.
.
По условию X + Y делится на 900, т.е. 2000a + 110(b + c) + 2d . 900.
. . .
. . .
Имеем, 2d . 10, т.е. d . 5, значит, поскольку d (cid:54)= 0 и d — цифра, d = 5. Далее, 110(b + c) + 10 . 100,
.
.
т.е. b + c + 1 . 10, откуда, поскольку b и c — цифры, 1 ≤ b + c + 1 ≤ 19, b + c = 9. Наконец,
. .
. .
2000a + 110 · 9 + 10 . 9, т.е. 2a + 1 . 9, откуда, поскольку a — цифра, a = 4.
Таким образом, X = 4000 + 90b + 90 + 5 = 90q + 45.
Используемые формулы
Пусть X = abcd = 1000a + 100b + 10c + d, Y = acbd = 1000a + 100c + 10b + d, при этом a,b, c, d — цифры и a (cid:54)= 0, d (cid:54)= 0.5, значит, поскольку d (cid:54)= 0 и d — цифра, d = 5.10, откуда, поскольку b и c — цифры, 1 ≤ b + c + 1 ≤ 19, b + c = 9.9, откуда, поскольку a — цифра, a = 4.Таким образом, X = 4000 + 90b + 90 + 5 = 90q + 45.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.