Задание №149670: Геометрия
10.5. Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
10.5. Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна
какой-то другой диагонали?
Ответ: Да, существует.
Решение. Возьмем правильный 202-угольник Q, выделим в нем вершину A. Нужный
нам пример — 201-угольник P с вершинами во всех вершинах Q, кроме вершины A.
Действительно, любая диагональ d многоугольника P служит также диагональю в Q.
Поэтому в Q имеется хотя бы 99 диагоналей направления, перпендикулярного d. Среди
этих 99 диагоналей заведомо найдется диагональ P (точно подойдет любая из этих диа-
гоналей, не проходящая через вершину A и соседние с ней вершины).
Замечание. На аналогичный вопрос для выпуклого n-угольника ответ положительный
для всех n ⩾ 4 кроме n = 5. Для четных n примером является правильный n-угольник;
при нечетных n > 5 — правильный (n + 1)-угольник с вычеркнутой вершиной (как в
решении); также нетрудно показать, что требуемого 5-угольника не существует.
Используемые формулы
для всех n ⩾ 4 кроме n = 5.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.