Задание №149672: Геометрия

10.7. На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые коорди-
наты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если
диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.

Решение. Лемма. Пусть P(x) — многочлен с целыми коэффициентами. На графике
y = P(x) взяты две различные точки A и B с целыми координатами. Тогда прямая AB
◦
либо параллельна горизонтальной прямой, либо образует с ней угол, не меньший 45 .
Доказательство. Пусть a и b — абсциссы точек A и B, тогда угловой коэффициент k
P(b)−P(a)
прямой AB равен , что равно целому числу (как известно, P(b) − P(a) делится
b−a
на b − a для любого многочлена с целыми коэффициентами P). В случае k = 0 прямая
AB горизонтальная. Иначе |k| ⩾ 1, значит AB образует с горизонталью угол, не меньший
45 ◦ . □
Перейдём к задаче. Пусть ABCD — данный четырехугольник, где AC ⊥ BD. Так как
AC не вертикальная, то BD — не горизонтальная. Аналогично AC не горизонтальная.
Произведение k k угловых коэффициентов прямых AC и BD равно −1. Но согласно
1 2
лемме |k | ⩾ 1. Значит, эти коэффициенты равны 1 и −1. Для определенности пусть AC
i
параллельна прямой y = x, а BD — прямой y = −x.

LII Всероссийская математическая олимпиада школьников

C

B

E

A D

Пусть E = AC ∩ BD. Для определенности, пусть A и D расположены ниже E (а C
и B — выше). Для определенности, пусть A не выше чем D. Тогда прямая AD образует
с горизонталью угол φ = 45 ◦ − ∠EAD. Поскольку φ ∈ [0,45 ◦ ), согласно лемме, имеем
φ = 0, т.е. прямая AD горизонтальная. Аналогично показываем, что BC горизонтальная.
Тем самым, ABCD симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через
E. Отсюда AC = BD.

Ответ: На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые коорди-