Задание №176285: ОММО 2016

Задача 2. В 1в классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассни-
ков и количество его одноклассниц (именно в таком порядке; сам себя ребенок не считает). Каждый
ребенок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на 2. Среди ответов были получены
такие: (12,18), (15,15), (11,15). Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Ответ: 13 мальчиков и 16 девочек.
Решение. Первое решение. Обозначим детей, давших ответы (12,18), (15,15), (11,15) через А, Б, В
соответственно. Заметим, что если в классе m мальчиков, то первое число в ответах девочек имеет
ту же чётность, что и m, а в ответах мальчиков — противоположную. Следовательно, дети Б и В

одного пола, а А — другого.
Первые числа в ответах Б и В отличаются на 4, значит, они оба неправильные. Таким образом,
количество одноклассников у Б и В равно 13, а количество одноклассниц — 15.
Если Б и В — мальчики, то в классе 14 мальчиков и 15 девочек. При этом у девочки А тогда
14 одноклассников и 14 одноклассниц, и ее ответ (12,18) противоречит условию. Значит, Б и В —

девочки, и в классе 13 мальчиков и 16 девочек.
Второе решение. Пусть какой-то ребёнок написал числа (m,d). Если бы оба числа он написал пра-
вильно, то он бы написал один из четырёх вариантов: (m − 2,d), (m + 2,d), (m,d − 2), (m,d + 2).
Тогда, если этот ребёнок — мальчик, то есть четыре варианта количества мальчиков и девочек в
классе: (m−1,d), (m+3,d), (m+1,d−2) и (m+1,d+2). Аналогично, если этот ребёнок — девочка;
возможные варианты в этом случае: (m − 2,d + 1), (m + 2,d + 1), (m,d − 1), (m,d + 3).

Таким образом, каждый из ответов даёт нам восемь вариантов, сколько мальчиков и девочек могло
быть в классе, один из которых должен быть верным:
для (12,18) это (11,18), (15,18), (13,16), (13,20), (10,19), (14,19), (12,17), (12,21);
для (15,15) это (14,15), (18,15), (16,13), (16,17), (13,16), (17,16), (15,14), (15,18);
для (11,15) это (10,15), (14,15), (12,13), (12,17), ( 9,16), (13,16), (11,14), (11,18).

Осталось заметить, что только вариант (13,16) встречается во всех трёх строчках.