Задание №176303: ОММО 2016
Задача 8. Карлсон написал дробь 5/8. Малыш может: • прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно, • умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь, равную 3/5? Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, а высота — a/2.
Найдите объём тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса a/3 c центрами
во всех вершинах этой пирамиды.
81 − 8π
Ответ: a3.
486
Решение. Рассмотрим куб со стороной a. Построим сферы радиуса a/3 с центрами во всех его
вершинах и в его центре. Объём V тела, ограниченного поверхностью куба и этими сферами равен
8 (cid:16)a(cid:17)3 81 − 8π
V = a3 − π = a3, поскольку объём общей части куба и шаров, ограниченных этими
3 3 81
сферами, равен двум объёмам шара радиуса a/3.
Соединим центр куба со всеми его вершинами. В результате получим 6 пирамид, удовлетворяющих
V 81 − 8π
условию задачи. Следовательно, искомый объём равен = a3.
6 486
17
Используемые формулы
81 − 8π8 (cid:16)a(cid:17)3 81 − 8πV = a3 − π = a3, поскольку объём общей части куба и шаров, ограниченных этимиV 81 − 8πСледовательно, искомый объём равен = a3.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.