Задание №176300: ОММО 2016
Задача 5. У Пети имеется 50 шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых 34 шариков есть хотя бы один красный; среди любых 35 — синий; среди любых 36 — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети? √ √
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 7. Пусть OP — диаметр окружности Ω, ω — окружность с центром в точке P и радиусом
меньше, чем у Ω. Окружности Ω и ω пересекаются в точках C и D. Хорда OB окружности Ω
пересекает вторую окружностью в точке A. Найдите длину отрезка AB, если BD · BC = 5.
√
Ответ: 5.
Решение. Пусть N — вторая точка пересечения прямой
OA с ω; M — вторая точка пересечения прямой DB с ω.
Заметим, что в силу симметрии относительно прямой
∠ OP, дуги OC и OD равны. Следовательно, ABC =
∠
DBA. Обозначим этот угол через α.
Тогда, из вписанности четырёхугольника CBPD,
∠ ∠ CPD = CBD = 2α. Следовательно, поскольку P —
центр ω, DA ) + AC ) = DAC ) = 2α. С другой стороны,
DA ) + MN ) ∠ = 2 DBA = 2α. Вычитая общую дугу DA ) , по-
лучаем, что AC ) = MN ) , откуда AM ) = CN )
C
M
N
B
A
O P
.
∠ ∠
Значит, CAB = ADB, и треугольники ABC и DBA
D
подобны по двум углам, откуда AB/BC = BD/AB, или
√
AB2 = BC · BD = 5, AB = 5.
Используемые формулы
Найдите длину отрезка AB, если BD · BC = 5.√Следовательно, ABC =∠ ∠ CPD = CBD = 2α.центр ω, DA ) + AC ) = DAC ) = 2α.DA ) + MN ) ∠ = 2 DBA = 2α.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.