Задание №176296: ОММО 2016
Задача 1. Вася и Маша поженились в 1994 году. С тех пор у них родилось четверо детей, и новый 2015 год встречали уже все шестеро. По странному совпадению все дети родились 6 февраля, а сегодня, 7 февраля 2016 года, Вася заметил, что возраст старшего равен произведению возрастов трёх младших. Докажите, что в этой семье есть близнецы.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. Сколько существует натуральных чисел n > 1, для которых найдутся n подряд идущих
натуральных чисел, сумма которых равна 2016?
Ответ: 5.
14
ОММО 07.02.2016 ответы и краткие решения Вариант IV
Решение. Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a,
a+1, ..., a+(n−1), сумма которых равна 2016. Тогда na+(n−1)n/2 = 2016, или, после алгебраических
преобразований, n(2a + n − 1) = 4032 = 26 · 32 · 7.
Заметим, что n и 2a + n − 1 имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится
на 26 = 64, откуда n (cid:62) 64, 2a + n − 1 (cid:54) 4032/64 = 63, что противоречит 2a + n − 1 > n.
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, т.е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них
подходит. Если n = 3: 2a + 3 − 1 = 1344, a = 671; если n = 7: 2a + 7 − 1 = 576, a = 285; если n = 9:
2a + 9 − 1 = 448, a = 220; если n = 21: 2a + 21 − 1 = 192, a = 86; если n = 63: 2a + 63 − 1 = 64, a = 1.
Всего вышло пять подходящих n.
Используемые формулы
Тогда na+(n−1)n/2 = 2016, или, после алгебраическихпреобразований, n(2a + n − 1) = 4032 = 26 · 32 · 7.на 26 = 64, откуда n (cid:62) 64, 2a + n − 1 (cid:54) 4032/64 = 63, что противоречит 2a + n − 1 > n.Если n = 3: 2a + 3 − 1 = 1344, a = 671;если n = 7: 2a + 7 − 1 = 576, a = 285;если n = 9:
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.