Задание №176286: ОММО 2016
Задача 1. Представьте в виде несократимой дроби 7 5 2008 2011 7 6 × 4 − 7 × 2 − 7 × . 2015 2016 2015 2016 2015
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел,
сумма которых равна 2016. Чему может равняться наибольшее из этих чисел?
Ответ: 63, 106, 228, 291 или 673.
10
ОММО 07.02.2016 ответы и краткие решения Вариант III
Решение. Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a,
a+1, ..., a+(n−1), сумма которых равна 2016. Тогда na+(n−1)n/2 = 2016, или, после алгебраических
преобразований, n(2a + n − 1) = 4032 = 26 · 32 · 7.
Заметим, что n и 2a + n − 1 имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится
на 26 = 64, откуда n (cid:62) 64, 2a + n − 1 (cid:54) 4032/64 = 63, что противоречит 2a + n − 1 > n.
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, т.е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них
подходит, и найдём соответствующее значение a + (n − 1). Если n = 3: 2a + 3 − 1 = 1344, a = 671,
a + (n − 1) = 673; если n = 7: 2a + 7 − 1 = 576, a = 285, a + (n − 1) = 291; если n = 9: 2a + 9 − 1 = 448,
a = 220, a + (n − 1) = 228; если n = 21: 2a + 21 − 1 = 192, a = 86, a + (n − 1) = 106; если n = 63:
2a + 63 − 1 = 64, a = 1, a + (n − 1) = 63.
Используемые формулы
Тогда na+(n−1)n/2 = 2016, или, после алгебраическихпреобразований, n(2a + n − 1) = 4032 = 26 · 32 · 7.на 26 = 64, откуда n (cid:62) 64, 2a + n − 1 (cid:54) 4032/64 = 63, что противоречит 2a + n − 1 > n.Если n = 3: 2a + 3 − 1 = 1344, a = 671,a + (n − 1) = 673;если n = 7: 2a + 7 − 1 = 576, a = 285, a + (n − 1) = 291;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.