Хорда PQ окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает стороны BC, AC в точках A′, B′ соответственно. Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке X, а к…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 21

Задание №21 · Математика · Олимпиада

Дан вписанный четыр¨ехугольник ABCD. Пусть M — середина диагонали ac AC; H , H — ортоцентры треугольников ABC, ADC соответственно; P , P — проd b d b екции H и H на BM и DM соответ…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 22

Задание №22 · Математика · Олимпиада

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D. Пусть F — точка Фейербаха, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую DF. Докажите, что FH :…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 22

Задание №22 · Математика · Олимпиада

Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами F , F . По- 1 2 стройте хорду окружности AB, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник AF F B — вписанный. 1 2…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 22

Задание №22 · Математика · Олимпиада

Дан отрезок AB. Пусть C — произвольная точка на серединном перпендикуляре к AB; O — точка на описанной окружности треугольника ABC, противоположная C; эллипс с центром O касается п…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 22

Задание №22 · Математика · Олимпиада

В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина BC, P — ближайшая к A точка пересечения луча AM и вписанной окружности треугольника, Q — дальняя от A точка пересечения луча …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 23

Задание №23 · Математика · Олимпиада

Даны треугольник ABC и точка P на плоскости. Прямые AP, BP, CP пересекают во второй раз окружность ABC в точках A′, B′, C′ соответственно. Найдите геометрическое место точек Q таки…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 23

Задание №23 · Математика · Олимпиада

Будем говорить, что множество M точек плоскости содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в M, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в M. Можно л…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 23

Задание №23 · Математика · Олимпиада

По окружности Ω движется точка P. На окружности Ω зафиксированы точки A и B. Точка C — произвольная точка внутри круга с границей Ω. Общие внешние касательные к окружностям, описан…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 24

Задание №24 · Математика · Олимпиада

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается грани ABC в ее ортоцентре H, а граней ABD, ACD в точках P, Q соответственно. Прямые DP, DQ пересекают плоскость ABC в точках X, Y . Докаж…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 24

Задание №24 · Математика · Олимпиада

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC, BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S площадь треугольника AB AC′B. Анал√огично опр√еделим …

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 24

Задание №24 · Математика · Олимпиада

В пирамиде SABC все углы при вершине S прямые. Точки A′, B′, C′ на ребрах SA, SB, SC соответственно таковы, что треугольники ABC и A′B′C′ подобны. Верно ли, что плоскости ABC и A′B…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 24

Задание №24 · Математика · Олимпиада

Дан тетраэдр ABCD. Прямая ℓ пересекает плоскости ABC, BCD, CDA, DAB в точках D , A , B , C соответственно. Пусть P — произвольная точка, не лежащая 0 0 0 0 на прямой ℓ и в плоскост…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→