5. В отель ночью приехали 100 туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера 1, 2, ..., n, из которых k на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы мо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника M расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольни- 7 ков, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых? Михаил Мурашкин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что 8 куб одного из них равен сумме кубов остальных? Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса k монет слева от неё равна суммарной массе k монет справа от не…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, ..., 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме мас…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. 8 Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0,1)? Алексей Канель-Белов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них шесть маленьких треугольников. 10 Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром в точке O. Описанная окружность треугольника AOC пересекает вторично пря- 6 мые AB, BC, CD и DA в точках M, N, K и L соответ…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20 × 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя плати…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Параллелограмм ABCD разделён диагональю BD на два равных треугольника. В треугольник ABD вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны 9 лежат на AB и AD, а …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В турнире участвовали 20 шахматистов. Каждый играл с каждым один раз белыми и один раз чёрными. Обязательно ли най- 5 дутся такие два шахматиста, что один из них выиграл не мень…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Дано целое число h > 1. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна h. Скажем, что число h замеча…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 чисел – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Даны 5 точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены 3 а) на плоскости; 3 б)…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На каждой клетке доски 5 × 5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят о…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с 8 одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На сторонах правильного девятиугольника 20◦ ABCDEFGHI во внешнюю сторону постро- Y A или треугольники XAB, Y BC, ZCD и TDE. I B 20◦ Известно, что углы X, Y , Z, T этих треуголь-…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Доска 2N×2N покрыта неперекрывающимися доминошками 1×2. По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи — на клетку, соседнюю по с…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Вас…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Есть N удавов, их пасти имеют размеры 1 см, 2 см, ..., N см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду н…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Хорда DE описанной около треугольника ABC окружности пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно, точка P лежит между D и Q. В треугольниках 10 ADP и QEC провели би…

Турнир городов · Олимпиадный

→