Задание №176995: Турнир городов
5. Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольни- 7 ков, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых? Михаил Мурашкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. [6] Окружности α и β с центрами в точках A и B соответственно пересекаются в точках
C и D. Отрезок AB пересекает окружности α и β в точках K и L соответственно. Луч DK
вторично пересекает окружность β в точке N, а луч DL вторично пересекает окружность α
в точке M. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN совпадает
с центром вписанной окружности треугольника ABC.
(Константин Кноп)
Достаточно доказать, что прямая KM проходит через центр вписанной окружности треуголь-
ника ABC (для прямой LN доказательство аналогично). Обозначим через I центр описанной
⌢ ⌢
окружности треугольника CKL. Пусть ∠CML = ϕ. Тогда ∠CAK =CK = 1 CD = ∠CMD = ϕ и
2
∠CIL = 2 ∠CKA = 180◦ ∠CAK = 180◦ ϕ, отку-
− −
да точки M,A,L,I,C лежат на одной окружности.
⌢
Значит, I — середина дуги CL, откуда AI — биссек-
триса угла BAC. Аналогично BI — биссектриса угла
ABC, следовательно, I — центр вписанной окружно-
сти треугольника ABC. Так как I — середина дуги
⌢ ⌢
CL, а K — середина дуги CD , точки I и K лежат
на биссектрисе угла CMD, что и требовалось.
Используемые формулы
Пусть ∠CML = ϕ.Тогда ∠CAK =CK = 1 CD = ∠CMD = ϕ и∠CIL = 2 ∠CKA = 180◦ ∠CAK = 180◦ ϕ, отку-
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.