Задание №176994: Турнир городов
4. За каждым из двух круглых столиков сидит по n гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дру- 7 жили между собой. Он имеет возможность подружить 2n пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой n пар гномов из этих 2n пар. При каких n добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник? Михаил Святловский
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [5] Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен xn axn−1 + bxn−2 + ... имеет n
−
натуральных корней, то на плоскости найдутся a прямых, у которых ровно b точек пересечения
друг с другом. Не ошибается ли барон?
(Фёдор Ивлев)
Ответ: не ошибается. Пусть корни многочлена из условия — числа x ,...,x . Выберем n раз-
1 n
личных направлений на плоскости и возьмём x прямых первого направления, x — второго, ...,
1 2
x — n-го направления.
n
Тогда, по формулам Виета, число прямых x + ... + x будет равняться a, а число их точек
1 n
пересечения между собой будет равняться b, если только никакие три прямые не пересекутся в
одной точке. Этого можно добиться, проводя прямые последовательно: очередную прямую нуж-
ного направления выбираем так, чтобы она не задевала уже имеющиеся точки пересечения (их на
каждом шаге конечное число).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.