Задание №177347: Турнир городов
1. График квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами пересекает ось абсцисс в точках X, Z, а ось ординат в точке Y (все три точки различны). Найдите наибольшее возможное значение угла XY Z. Б. Френкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. График квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами пересекает ось абсцисс в точках
X, Z, а ось ординат в точке Y (все три точки различны). Найдите наибольшее возможное зна-
чение угла XY Z.
Б. Френкин
Ответ. 90◦.
Решение. Пример. Трёхчлен x2 − 1.
Оценка. Пусть O — начало координат, трёхчлен имеет вид ax2 + bx + c, а его корни равны r и
s. Предположим, что угол XY Z тупой. Тогда |OY |2 < |OX||OZ|, поскольку при прямом угле XY Z
было бы равенство. Значит, c2 < |rs| = |c/a|, но тогда 0 < |ac| < 1, что противоречит целочисленности
a и c.
Комментарий. Целочисленность b на самом деле не требуется.
Используемые формулы
Значит, c2 < |rs| = |c/a|, но тогда 0 < |ac| < 1, что противоречит целочисленности
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.