Задание №177348: Турнир городов
2. Треугольники ABC и ADE таковы, что E лежит на луче AB, а D лежит на луче AC. Оказалось, что биссектрисы BX и DY этих треугольников перпендикулярны. Докажите, что XY параллельно EC. В. Мокин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Треугольники ABC и ADE таковы, что E лежит на луче AB, а D лежит на луче AC.
Оказалось, что биссектрисы BX и DY этих треугольников перпендикулярны. Докажите, что
XY параллельно EC.
В. Мокин
Решение 1. Выберем на лучах AC и AB точки D′ и E′ соответственно так, что D′B ∥ DY и
D′E′ ∥ DE. Тогда D′B ⊥ BX, так что BD′ — внешняя биссектриса в треугольнике ABC, то есть
∠CBD′ = ∠D′BE′. Поскольку треугольники ADE и AD′E′ гомотетичны, прямая D′B является
биссектрисой последнего, так что ∠BD′C = ∠BD′E′. Значит, треугольники BCD′ и BE′D′ симмет-
ричны относительно BD′, откуда BC = BE′. Поэтому ∠BCE′ = ∠BE′C = ∠ABC/2 = ∠XBC, то
AX AB AY
есть BX ∥ CE′. Значит, = = , откуда и следует требуемое.
AC AE′ AE
E′
E
B
Y
A X C D D′
Решение 2. Из данной перпендикулярности имеем ∠ABX + ∠ADY + ∠BAD = π/2; отсюда
∠ABC + ∠ADE = 2(∠ABX + ∠ADY ) = π − 2∠BAD. Значит, ∠ACB + ∠AED = (π − ∠ABC −
AB sinACB sinAED AD
∠BAD)+(π−∠ADE−∠BAD) = π. По теореме синусов получаем = = = .
BC sinBAD sinBAD DE
AX AB AD AY
Значит, = = = , откуда и следует требуемое.
XC BC DE Y E
Используемые формулы
∠CBD′ = ∠D′BE′.биссектрисой последнего, так что ∠BD′C = ∠BD′E′.ричны относительно BD′, откуда BC = BE′.Поэтому ∠BCE′ = ∠BE′C = ∠ABC/2 = ∠XBC, тоЗначит, = = , откуда и следует требуемое.Из данной перпендикулярности имеем ∠ABX + ∠ADY + ∠BAD = π/2;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.