Задание №176993: Турнир городов
3. Окружности α и β с центрами в точках A и B соответственно пересекаются в точках C и D. Отрезок AB пересекает окружности α и β в точках K и L соответственно. Луч DK вторично пересекает окружность β в точке N, а луч DL 6 вторично пересекает окружность α в точке M. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. Константин Кноп
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [4] Даны n натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску
их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, и для каждой пары
хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все
числа целые.
(Борис Френкин)
Пусть на чёрной доске не все числа целые. Тогда среди исходных чисел есть чётные и нечётные.
Пусть a — любое из чётных исходных чисел, b — любое из нечётных. По условию их среднее
геометрическое — целое число, то есть их произведение — полный квадрат. Если взять любые два
чётных исходных числа a и a , то тогда a b и a b — полные квадраты, откуда a a b2 — полный
1 2 1 2 1 2
квадрат, а значит, и a a — полный квадрат. Аналогично, произведение любых двух нечётных
1 2
исходных чисел — полный квадрат. Но тогда на белой доске все числа целые.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.