Задание №176992: Турнир городов

7. Выпуклый четырёхугольник ABCD обладает таким свойством: ни из каких трёх его сто-
рон нельзя сложить треугольник. Докажите, что

а) [6] один из углов этого четырёхугольника не больше 60◦;
б) [6] один из углов этого четырёхугольника не меньше 120◦.
(Максим Дидин)
Первое решение. Пусть AD — наибольшая сторона четы-
рёхугольника ABCD. По условию, сумма любых двух других

сторон не больше AD.
а) Пусть углы A и D оба больше 60◦. Построим на стороне
AD равносторонний треугольник AKD во внутреннюю сторону
четырёхугольника. Его стороны AK и DK выходят из вершин
A и D внутрь четырёхугольника. Точка K будет лежать вне
четырёхугольника (иначе AB + BC + CD > AK + KD = 2AD,
и тогда какие-то две стороны из AB,BC,CD в сумме больше
AD, противоречие). Тогда ∠BKC > 60◦, откуда в треугольни-
ке BKC сторона BC не самая маленькая. Пусть она больше,

например, BK. Тогда AB + BC > AB + BK > AK = AD —
противоречие.
б) Пусть каждый из углов B и C меньше 120◦. Продлим
лучи AB и DC, дополнительные углы будут больше 60◦. По-
строим на стороне BC равносторонний треугольник BKC во
внешнюю сторону четырёхугольника. Тогда угол AKD будет
меньше 60◦ (стороны BK и CK «загибаются внутрь» от лу-

чей), и значит, в треугольнике AKD сторона AD не самая боль-
шая. Пусть она меньше, например, чем AK. Тогда получаем:
AD < AK < AB + BK = AB + BC — противоречие.
Второе решение. Пусть AD — наибольшая сторона четырёхугольника ABCD и CD AB.
≤
Поскольку AD BC + CD > BD, угол А острый. Аналогично угол D острый. Поэтому проекции
≥
P и Q точек B и C на прямую AD лежат на интервале АD.
а) Предположим, что оба угла A и D больше 60◦. Тогда AD = AP + PQ + QD < 1AB + BC +
2
+1CD (cid:54) AB +BC, то есть из сторон AD, AB и BС можно составить треугольник. Противоречие.
2
б) Заметим, что PQ (cid:54) BC, AB + BC (cid:54) AD, откуда AB (cid:54) AD PQ = AP + QD. Отметим
−
такие точку Х на луче BP и точку Y , что BX = CQ, −B−→Y = −C−→D. Тогда треугольники BХY и
CQD равны, AY (cid:62) AP +XY = AP +QD (cid:62) AB (cid:62) CD = BY . Поэтому AY — наибольшая сторона
треугольника ABY , а ABY — его наибольший угол, и тем самым ∠ABY (cid:62) 60◦. Тогда ∠A + ∠D =
∠BAP + ∠BY X = ∠BAY + ∠BY A (cid:54) 120◦ (использовано очевидное равенство ∠AY X = ∠Y AP).
Поскольку сумма углов четырёхугольника ABCD равна 360◦, то ∠B + ∠C (cid:62) 240◦. Поэтому либо
∠B (cid:62) 120◦, либо ∠C (cid:62) 120◦.
А ещё мы заново решили пункт а): из неравенства ∠A + ∠D (cid:54) 120◦ следует, что хоть один из
углов A, D не больше 60◦.
10 – 11 классы