Задание №177019: Турнир городов

4. [5] Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение
[x2] + px + q = 0 при p ̸= 0 иметь более 100 корней? ([x2] обозначает наибольшее целое число, не пре-
восходящее x2.)
Алексей Толпыго
Ответ: может.
Решение. Рассмотрим, например, уравнение [x2]−100x+2500 = 0. Оно имеет 199 корней вида 50+ k
100
(где k = −99,−98,...,99). Действительно,
   

k
2 
k
2 
k

50 + = 2500 + k + = 2500 + k = 100 · 50 + − 2500.
100 100 100
Идеология. Прямая y = 100x − 2500 касается параболы y = x2 в точке (50,2500).
Замечание. Поясним неформально, как можно было придумать решение задачи.
Поскольку [x2] = x2 −{x2}, исходное уравнение можно переписать в виде x2 +px+q = {x2}. Будем ре-
шать его графически: искать пересечения графиков параболы и дробной части квадрата. График дробной
части y = {x} представляет собой ряд равномерно идущих наклонных полуинтервалов:
Аналогично, график y = {x2} состоит из кусочков параболы: мы разрезаем параболу y = x2 горизон-
тальными прямыми вида y = n, где n = 0,1,2,..., на кусочки и каждый кусочек параллельно сдвигаем
вниз к оси абсцисс. Но эти кусочки идут уже не равномерно, а «чем дальше от нуля, тем всё чаще» (ведь
при стремлении x к бесконечности ордината возрастает на 1 при увеличении x на всё меньшее (стремя-
щееся к 0) число:





Но тогда любое уравнение вида (x − a)2 = {x2} с достаточно большим a годится: в окрестности своей
вершины парабола y = (x − a)2 пересечёт много кусочков графика y = {x2}.

4