Задание №177020: Турнир городов

5. [6] Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M — середина
стороны AC. Прямая BO пересекает высоты AA и CC в точках H и H соответственно. Описанные
1 1 a c
окружности треугольников BH A и BH C вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на
a c
прямой BM.
Михаил Евдокимов
Решение 1. Пусть B′ — точка, симметричная точке B относительно точки M, а описанная окружность
треугольника ACB′ пересекает медиану BM в точке K. Тогда внешний угол AKB′ треугольника AKB
равен ∠ACB′ = ∠A (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол BH A треугольника AH B равен
a 1 a
∠BAA + ∠ABO = 90◦ − ∠B + 90◦ − ∠C = ∠A (см. далее рисунок справа). Поэтому ∠AKB = ∠AH B,
1 a
то есть точка K лежит на описанной окружности треугольника BH A. Аналогично она лежит на описан-
a
ной окружности треугольника BH С.
с









Решение 2. Пусть BD — диаметр описанной окружности
треугольника ABC. Поскольку ∠ADB = ∠C, имеем:

∠CAH = ∠CAA = 90◦ − ∠C = 90◦ − ∠ADB = ∠ABH .
a 1 a
Следовательно, сторона AC касается описанной окружности
треугольника BH A. Аналогично она касается описанной окруж-
a
ности треугольника BH С. Как известно, радикальная ось BK
с
этих двух окружностей проходит через середину M отрезка AC
их общей касательной.

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8 – 9 классы