Задание №176948: Турнир городов

5. [6] Прямоугольник 13 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга
разбивают доску 2021 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя
платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались
на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе
Вася независимо от действий Пети?
Алексей Глебов

Ответ: 14 рублей. Пусть вертикальная сторона доски равна 20, а горизонтальная – 21.
Пример. Покажем, как Васе гарантированно получить не менее 14 рублей. Он разбивает

доску на горизонтальные триминошки. Пусть количество Петиных горизонтальных
триминошек, центр которых лежит в i-м столбце, равно a . В i-й столбец залезают триминошки,
i
с центрами в столбцах i – 1, i и i + 1. Поскольку в столбце 20 клеток, а вертикальная триминошка
покрывает три клетки, сумма a + a + a , даёт остаток 2 при делении на 3. Сумма a + a
i–1 i i+1 i i+1
+a тоже даёт остаток 2 от деления на 3, откуда остатки у a и a одинаковы. Число центров
i+2 i–1 i+2
горизонтальных триминошек, попавших в столбец 2, даёт остаток 2 при делении на 3, откуда в
каждом из столбцов 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 лежат центры хотя бы двух горизонтальных
триминошек Пети. Они совпадут с Васиными, что даст ему не менее 14 рублей.
Оценка. Можно считать, что Петя знает Васино разбиение. Верхние две строки Петя
разбивает на горизонтальные триминошки, они дадут Васе не более 14 совпадений.
Оставшуюся доску Петя разделит на квадраты 33. Если в какой-то квадрат полностью входит
Васина горизонтальная триминошка, то Петя разобьёт его на вертикальные триминошки, иначе
– на горизонтальные, и в этом квадрате не будет совпадений.
10 – 11 классы