Задание №176947: Турнир городов
4. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка P. Пусть H — точка 5 пересечения высот треугольника APD, M — середина AD и N — середина CD. Докажите, что прямые PN и MH взаимно перпендикулярны. Иван Кухарчук
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. [5] На диагонали AC квадрата ABCD взята точка P. Пусть H – точка пересечения высот
треугольника APD, M – середина AD и N – середина CD. Докажите, что прямые PN и MH
взаимно перпендикулярны.
Иван Кухарчук
При одном из поворотов на 90 вокруг центра O квадрата точка A
перейдёт в точку D, точка D – в точку C, а точка M – в точку N. Так
как OPH – равнобедренный прямоугольный треугольник, H перейдёт
в P. Значит, отрезок MH перейдёт в NP, поэтому они
перпендикулярны.
Замечание. Если треугольник APD тупоугольный, точка H лежит
вне него, что никак не сказывается на решении.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.