5. Дано 2n+1 чисел (n — натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны n. 5 Для каких n эти числа можно записать в одну …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В выпуклой шестиугольной пирамиде длины одиннадцати ребер равны 1. Чему может быть равна длина двенадцатого ребра? Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Пусть p — простое число, большее 10k. Взяли число, делящееся на p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, делящееся 8 на p. В …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту 5 (возможно, не все из разных вершин), лежащие вн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Дан треугольник XBC. Различные точки A , A , A таковы, H I M что X является ортоцентром треугольника A BC, центром вписанной H окружности треугольника A BC и точкой пересечения …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Вес каждой гирьки набора — нецелое число грамм. Ими можно уравновесить любой целый 8 вес от 1 г до 40 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес — на другую). Каково н…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. а) На каждой стороне 10-угольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти 2 окружности имеют общую точку, не совпадающую…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в 9 соседних по сторо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных 5 чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k 8 больше 30◦. Каково наибольшее возможное значение k? Наири Седракян…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Петя расставляет 500 королей на клетках доски 100 × 50 так, чтобы они не били друг друга. А Вася — 500 королей на белых 5 клетках (в шахматной раскраске) доски 100×100 так, чтоб…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого — дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше π, а площадь равна четверти площа…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X и Y . Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в 9 1 1 двух точках X и Y . О…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Трапеция ABCD вписана в окружность. Её основание AB в 3 раза больше основа- 9 ния CD. Касательные к описанной окружности в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что уго…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Произвольная прямая ℓ, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B. Прямые, касающиеся окружностей в то…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одина- 8 ковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, 7 начинает Петя. В свой ход игрок выбирает лю- 6 бую фишку и сдвигает её либо по вер…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырехуголь…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Назовём пару (m,n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) 8 — точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые 2 соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые 2 фиш- 5 ки, между кот…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. У Васи есть неограниченный запас брусков 1 × 1 × 3 и уголков из трёх кубиков 1 × 1 × 1. Вася целиком запол- 5 нил ими коробку m × n × k, где m, n и k — целые числа, большие чем …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 5

Задание №5 · Математика · Олимпиада

5. Полиция задержала 50 человек, из которых 35 — преступники, которые говорят, что захотят, а 15 — свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники.…

Турнир городов · Олимпиадный

→