Задание №177243: Турнир городов

5. Дан треугольник XBC. Различные точки A , A , A таковы, что X является ор-
H I M
тоцентром треугольника A BC, центром вписанной окружности треугольника A BC и
H I
точкой пересечения медиан треугольника A BC. Докажите, что если A A и BC парал-
M H M
лельны, то A — середина A A .
I H M
Решение. Пусть M — середина BC, а Y и Z — точки, симметричные X относительно
прямой BC и точки M, соответственно. Тогда (cid:54) BZC = (cid:54) BY C = (cid:54) BXC = 180◦ − (cid:54) BA C,
H
откуда точки A , B, C, Y и Z лежат на одной окружности Ω с центром O и радиусом R. При
H
этом, поскольку A A (cid:107) BC и A X : XM = 2, получаем A X : XY = A X : 2XM = 1, то
H M M H M
есть X — середина A Y .
H
Е. Бакаев
Пусть T — середина Y Z. Тогда OTY X — прямоугольник, поэтому TX = OY = R. Из
симметрии относительно BC получаем, что OB = OC = TB = TC = R. Значит, T — центр
окружности, описанной около треугольника BXC, то есть, по лемме о трезубце, середина
дуги BC окружности (A BC).
I
2

Y (cid:48) A H S A M

K
X
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
X

M
B K M PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP K C


Z TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT Y


Пусть K = A Y ∩ BC, Y Y (cid:48) — диаметр окружности Ω, а P и S — середины KM и A A ,
H H M
соответственно. Заметим, что Y Z = 2KM = A A = A Y (cid:48). Значит, TX пересекает отрезки
H M H
KM и A A в их серединах P и S, а также P = Y Y (cid:48)∩BC. Тогда BP ·PC = Y P·PY (cid:48) = TP ·PS
H M
(последнее равенство выполнено в силу симметрии отрезков Y Y (cid:48) и TS относительно перпен-
дикуляра к BC в точке P). Значит, TBSC — вписанный четырёхугольник, как и TBA C.
I
Поскольку A и S лежат на TX, отсюда следует A = S.
I I
Замечание. На последнем шаге можно действовать и по-другому. Пусть K = A Y ∩BC, а
H
S — середина A A . Пусть K и K — точки, симметричные K относительно M и X соот-
H M M X
ветственно. Тогда в треугольнике A BC точка K — точка касания вневписанной окружности
I M
с BC, а K — точка вписанной окружности, диаметрально противоположная K. При гомоте-
X
тии с центром A , переводящей вневписанную во вписанную, эти точки переходят друг в друга
I
— значит, A лежит на K K . Осталось заметить, что K K проходит через S (поскольку
I M X M X
K K : K A = KK : A S = 2), так что A = K K ∩ TX = S.
X X H M H I M X