Задание №177037: Турнир городов
5. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые 2 соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые 2 фиш- 5 ки, между которыми стоят ровно 4 фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? Егор Бакаев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2) c a. Значит a, b, c – три разных веса, они как-то упорядочены (c > b > a, b > c > a или b > a > c),
поэтому определены однозначно. При этом v = z – ситуация победная.
Замечание. Иногда некоторые взвешивания можно не проводить: например, если C тяжелее B, то
уже c > b > a; если при первом неравенстве уже есть ещё монета веса a, её можно взять за C.
Решение 2. (А. Рябичев) Сначала докажем по индукции следующее вспомогательное
Утверждение 1. Пусть есть k монет, среди которых все три типа представлены, причём про пару
монет A, a уже известно, что A > a. Тогда можно определить, какая из k монет какого типа, за k – 1
взвешивание.
База. Если монет три, сравнив оставшуюся монету с A и с a, мы упорядочим их по весу.
Шаг. Сравним какие-нибудь две монеты, кроме A и a. Если они равны, то одну можно
отбросить (запомнив, с какой она совпадает по весу), и воспользоваться предположением индукции
для k – 1 монеты. Если они не равны, скажем что получилась пара B > b. Теперь сравним A+a и B+b.
Если веса пар равны, то A=B и a=b, так что мы можем выкинуть B и b (запомнив, что они совпадают
по весу с A и a), и воспользоваться предположением индукции для k – 2 монет.
Пусть веса пар различны, для определённости, A+a > B+b. Заметим, что тогда обязательно A = 3 и
b = 1. Монеты в паре (B, a) имеют либо веса (2,1), либо (2,2), либо (3,2). Итак, сравнив A+b с B+a, мы
однозначно восстановим веса всех четырёх монет. Среди них есть монета веса 2, будем сравнивать с
ней все остальные монеты, на что уйдут оставшиеся k – 4 взвешивания. Утверждение 1 доказано.
Теперь выведем по индукции следующее утверждение, усиливающее требуемое в задаче:
Утверждение 2. Если есть k монет, среди которых все три типа представлены, то можно
определить, какая монета какого типа, за k взвешиваний.
База. Если монет три, то, сравнив каждую с каждой, мы упорядочим их по весу.
Шаг. Сравним какие-нибудь две монеты. Если они равны, то одну можно отбросить (запомнив, с
какой она совпадает по весу), и мы переходим к случаю k – 1 монеты, среди которых все типы
представлены. Если они не равны, скажем, что образовалась пара A > a и воспользуемся
утверждением 1.
Замечание. Мы сделали на одно взвешивание меньше, чем предполагалось в условии. Кроме
того, мы использовали только то, что сумма весов двух серебряных монет равна сумме весов медной
и золотой; тот факт, что серебряная монета вдвое тяжелее медной, для данного решения не важен.
Используемые формулы
При этом v = z – ситуация победная.Если веса пар равны, то A=B и a=b, так что мы можем выкинуть B и b (запомнив, что они совпадаютЗаметим, что тогда обязательно A = 3 иb = 1.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.