Задание №177061: Турнир городов

4. Существует ли непостоянный многочлен p(x) с действительными коэффициентами,
который можно представить в виде суммы a(x) + b(x), где a(x) и b(x) – квадраты
многочленов с действительными коэффициентами,
а) [2] ровно одним способом?
б) [3] ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
(С. Маркелов)

Ответ: не существует.
Решение. Пусть ненулевой многочлен P представим в виде суммы квадратов двух
многочленов, то есть P = F2 + G2. Заметим, что F2 + G2 = (cF + sG)2 + (sF – cG)2, где
c = cos α, s = sin α. Полагая 0 ≤ α < π/ , получим бесконечно много представлений.
2
Допустим, какие-то два из них совпадут. То есть (c F + s G)2 = (c F + s G)2 или
1 1 2 2
(c F + s G)2 = (s F – c G)2. Перенося влево и раскладывая на множители, получим, что
1 1 2 2
какая-то из скобок равна нулю в бесконечном числе точек, следовательно, в ней стоит
нулевой многочлен. Посмотрим на коэффициенты перед F и G в этой скобке. Хотя бы
один из них не равен нулю, так как числа c + c , c – c , c + s , s + c ненулевые.
1 2 1 2 1 2 1 2
Значит, F и G линейно зависимы. Можно считать, что G = tF для некоторого числа t.
Тогда P = (1 + t2)F2. Поскольку F – ненулевой, то, по-разному раскладывая 1 + t2 в
сумму квадратов двух чисел, получим бесконечное число представлений многочлена P.