Задание №177119: Турнир городов
5. В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в 9 соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, — в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно? Александр Грибалко
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [5] Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок.
Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по
своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой
нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель
фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику
с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.
К. Кноп
Решение. Мысленно расположим шкатулки по кругу, изобразив
их точками, делящими окружность на 12 равных дуг длины 1, и
будем выражать расстояния между шкатулками в дугах. Между
любыми двумя шкатулками с одной из сторон круга находится не
более 6 дуг длины 1. Тогда нам достаточно придумать шаблон
– четырёхугольник с вершинами в шкатулках, – между вершинами
которого реализуются все расстояния от 1 до 6. При≪мер тако≫го
шаблона изображён на рисунке справа (четырёхугольник с
вершинами 1, 2, 5, 7), одна из его вершин помечена красным.
Этот шаблон всегда можно повернуть так, чтобы он накрыл
обе шкатулки с монетами. Помощник так и делает, а открывает
шкатулку перед красной вершиной шаблона. Фокусник≪ поворачи≫вает шаблон так, чтобы красная
вершина шла сразу за шкатулкой, открытой помощником, и находит монеты.
Это же решение можно изложить другими словами. Занумеруем шкатулки остатками по
модулю 12. Если помощник открывает шкатулку с номером k, то фокусник открывает шкатулки с
номерами k + 1, k + 2, k + 5 и k + 7 по модулю 12. Поскольку любая пара шкатулок имеет вид
{n, n + 1}, {n, n + 2}, {n, n + 3}, {n, n + 4}, {n, n + 5} или {n, n + 6}, то помощник всегда найдёт
четвёрку шкатулок нужного вида, содержащую пару шкатулок с монетами.
Существуют и другие шаблоны – например, четырёхугольник с вершинами 1, 2, 4, 8.
См. также задачу 4 старших классов, где шкатулок 13.
Старшие классы
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.