Задание №177118: Турнир городов
4. Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расста- 8 вили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться? Илья Богданов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. [5] В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом α
при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы
основания – на отрезках AB и CD. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников
совпадают.
И. Жижилкин
Решение. Пусть KLM – один из таких треугольников,
O – середина его основания KM (см. рисунок).
Тогда LO – медиана, а значит, и биссектриса, и высота
треугольника KLM. Поскольку углы KBL и LOK прямые,
точки B и O лежат на окружности c диаметром KL,
откуда ∠KBO = ∠KLO = α/2. Аналогично получаем, что
∠МСO = ∠МLO = α/2.
Тогда O – точка пересечения прямых, проведённых из
вершин B и C под углом α/2 к сторонам прямоугольника
BA и CD соответственно, то есть она не зависит от
положения треугольника KLM.
Используемые формулы
откуда ∠KBO = ∠KLO = α/2.∠МСO = ∠МLO = α/2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.