Задание №177114: Турнир городов
5. В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных 5 чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано? Александр Шаповалов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [5] В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая
сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел
могло быть выписано?
А. Шаповалов
Ответ: 1019 чисел.
Лемма. Сумма любых сорока подряд записанных чисел не меньше 80.
Доказательство. Пусть числа a , …, a записаны подряд. Cреди чисел b = 0, b = a ,
1 40 0 1 1
b = a + a , …, b = a + a + … + a найдутся два b и b (i < j) с одинаковым остатком при
2 1 2 40 1 2 40 i j
делении на 40. Тогда сумма a + a + … + a кратна 40, а значит, не меньше 80.
i+1 i+2 j
Решение. Оценка. Пусть выписано n > 1019 чисел. По лемме, сумма первых 1000 = 25⋅40 из
них не меньше 25⋅80 = 2000. Сумма оставшихся чисел (их по крайней мере 20) не меньше 20.
Значит, вся сумма не меньше 2020. Противоречие.
Пример. 25 групп 1, ..., 1, 41 (в каждой группе 39 единиц и число 41) и затем 19 единиц.
40-й Международный математический Турнир городов
Решения задач весеннего тура
Сложный вариант
Младшие классы
Используемые формулы
Cреди чисел b = 0, b = a ,b = a + a , …, b = a + a + … + a найдутся два b и b (i < j) с одинаковым остатком приПо лемме, сумма первых 1000 = 25⋅40 изних не меньше 25⋅80 = 2000.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.