Задание №177297: Турнир городов

5. В выпуклой шестиугольной пирамиде длины одиннадцати ребер равны 1. Чему
может быть равна длина двенадцатого ребра?
М.Евдокимов B D
√ O
Ответ. (0,1) ∪ (1, 3).
Пусть HABCDEF — искомая пирамида с вершиной H, а O — проекция точки
K
H на плоскость основания. В случае, когда все боковые ребра равны 1, все вершины
основания лежат на окружности с центром O. Радиус этой окружности меньше 1. E
A
Ясно, что если 5 сторон вписанного шестиугольника равны 1, то длина оставшейся
стороны может принимать все значения из интервала (0, 1).
В случае, когда одно из боковых ребер не равно 1, пять вершин шестиугольника
лежат на окружности с центром O и радиусом R < 1, а шестая вершина (пусть
F
для определенности это будет вершина F) будет лежать вне окружности, причем
FA = FE = 1 по условию. Когда расстояние OH мало, значение R близко к 1. При
этом OF и HF близки к 1.
Другой предельный случай, когда D, E и F лежат на одной прямой, изображен на
рисунке 1 (недостижим, так как соседние ребра не могут лежать на одной прямой). C′
В этом случае для касательной FK имеем: FK2 = FE · FD = 2. Поэтому
√
OF2 = R2 + 2 и HF2 = OH2 + OF2 = (1 − R2) + R2 + 2 = 3, откуда HF = 3.
B′ D′
В силу непрерывности, длина HF может принимать все значения из интервала
√ O
(1, 3).
√
Покажем, что длина HF не может быть больше 3. Для промежуточных случаев
мы получим какую-то пирамиду H′A′B′C′D′E′F′ (пять вершин основания лежат
K′
на окружности с центром O и радиусом R′ < 1, рис. 2). Пусть D′F′ пересекает
окружность в некоторой точке S (E′ лежит на дуге SD′, так как пирамида выпукла). A′ S E′
Тогда F′S < F′E′ = F′A′ = 1, а F′D′ < F′E′ + E′D′ (неравенство треугольника), и
для касательной F′K′ получаем F′K′2 = F′S · F′D′ < 1 · 2. Поэтому
√
H′F′2 = OH′2 + OF′2 = (1 − R′2) + R′2 + F′K′2 < 3, откуда H′F′ < 3.
F′