Задание №177327: Турнир городов
5. Дано 2n+1 чисел (n — натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны n. 5 Для каких n эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального m от 1 до n между двумя числами, равными m, было расположено ровно m других чисел? И.Ф.Акулич ТРИДЦАТЬ ШЕСТОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 10 – 11 классы, базовый вариант, 1 марта 2015 г. (Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.) баллы задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. В кубическую коробку поместили 3 одинаковых шара. Докажите, что в точно такую же
пустую коробку можно поместить 4 таких же шара.
М. Евдокимов
Решение. Пусть радиусы шаров равны 1; рассмотрим куб, гомотетичный коробке с центром в её
центре, грани которого отстоят от граней коробки на 1. Тогда центры трёх шаров лежат в нём, а
попарные расстояния между ними не меньше 2. Если при этом ребро нового куба не короче, чем
√
2, то можно раскрасить его вершины в шахматном порядке и взять 4 шара с центрами в 4 чёрных
вершинах. Они обладают всеми необходимыми свойствами.
2
√
Осталось показать, что в кубе с ребром, меньшим 2, нельзя выбрать три точки с попарными
расстояниями хотя бы 2. Пусть такие три точки нашлись. Спроецируем эти точки на ось, парал-
√
лельную ребру куба; максимальное расстояние между проекциями меньше 2 (то есть его квадрат
меньше 2), а сумма двух других расстояний равна максимальному (и тогда сумма квадратов этих
расстояний также меньше 2). Проделав такие рассуждения для всех трёх осей и применяя теорему
Пифагора, получаем, что сумма квадратов попарных расстояний между точками меньше 12, то есть
один из этих квадратов меньше 4. Противоречие.
Используемые формулы
√
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.