Задание №177072: Турнир городов
5. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X и Y . Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в 9 1 1 двух точках X и Y . Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках 2 2 X и Y . Докажите, что прямые X Y , X Y , X Y пересекаются в одной точке. 3 3 1 1 2 2 3 3 Максим Дидин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [5] Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Произвольная прямая l,
проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B. Прямые,
касающиеся окружностей в точках A и B, пересекаются в точке C, а биссектриса угла CPQ
пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что все точки D, которые можно так
получить, выбирая по-разному прямую l, лежат на одной и той же окружности.
(А. Заславский)
Решение. Пусть A лежит на одной окружности, B – на другой. Два различных случая
расположения приведены на рисунках. Решение годится для всех случаев.
C A
P P
D
B
B
D
Q Q
C
A
По теореме об угле между хордой и касательной получаем равенство ориентированных
углов (AC,AP)=(AQ,QP)=(BC,BP). Следовательно, точка C лежит на описанной
окружности треугольника APB. Тогда (CP,PB)=(CA,AB)=(AP,PQ), т.е биссектрисы
неориентированных углов CPQ и BPA совпадают или перпендикулярны.
Если точка Q лежит между A и B, то APBC – выпуклый четырехугольник. Если же,
например, B лежит между Q и A, то PBAC – выпуклый четырехугольник. В обоих случаях
PD – биссектриса треугольника PAB. Нетрудно видеть, что все эти треугольники подобны
друг другу и одинаково ориентированы. Значит, все треугольники PAD также подобны
друг другу и при движении точки A по окружности D также движется по окружности.
Сложный вариант
Младшие классы
Используемые формулы
углов (AC,AP)=(AQ,QP)=(BC,BP).Тогда (CP,PB)=(CA,AB)=(AP,PQ), т.е биссектрисы
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.