Задание №176904: Турнир городов

5. [8] Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25
чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно
разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое,
которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для
красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в
каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и
зелёное числа лежат между красными?
Александр Грибалко

Ответ: обязательно. Решение. Упорядочим числа каждого цвета по возрастанию.
А красные числа ещё и разобьём на две части: первые 25 назовём малыми, а следующие

25 – большими. Докажем, что можно взять в качестве k-й четверки k-е жёлтое и k-е
зелёное числа и из красных k-е малое и k-е большое.
Действительно, k-е жёлтое число больше одного красного числа из своей тройки и из
всех троек с меньшими жёлтыми числами, то есть больше хотя бы k красных чисел.
Значит, оно больше k-го малого красного числа. С другой стороны, k-е жёлтое число
меньше одного красного числа из своей тройки и из всех троек с большими жёлтыми
числами, то есть меньше хотя бы 25 – (k – 1) красных чисел. Значит, оно меньше k-го
большого красного числа. Те же рассуждения справедливы для k-го зелёного числа.