Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаТурнир городовОлимпиадный

Задание №176902: Турнир городов

Условие

3. Назовём натуральное число заурядным, если в его десятичной записи встречаются только нули и единицы. Пусть произведение двух заурядных чисел оказалось зауряд- 7 ным числом. Обязательно ли тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей? Виктор Клепцын, Константин Кноп

📎 vs-44-sl-avt.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Международный математический Турнир городов — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаТурнир городовТурнир городов · тип 3анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

3. [7] Назовём натуральное число заурядным, если в его десятичной записи
встречаются только нули и единицы. Пусть произведение двух заурядных чисел
оказалось заурядным числом. Обязательно ли тогда сумма цифр произведения равна

произведению сумм цифр сомножителей?
Виктор Клепцын, Константин Кноп

Ответ: не обязательно. Решение. Рассмотрим произведение двух заурядных чисел

где N – больш(cid:2870)ое чё(cid:2872)тное ч(cid:2876)исло (нап(cid:2869)р(cid:2868)и(cid:2870)(cid:2872)мер, (cid:3015)м(cid:2879)и(cid:2870)ллион(cid:3015))(cid:2879). (cid:2872)Раскр(cid:3015)ы(cid:2879)в(cid:2876) скобки, м(cid:3015)ы(cid:2879)(cid:2869) п(cid:2868)(cid:2870)о(cid:2872)лучим много
(10 + 10 + 10 + ⋯+ 10 )(10 + 10 + 10 + ⋯+ 10 ),
слагаемых, каждое из которых – степень числа 10. Если бы все слагаемые были разными,
мы получили бы заурядное число с суммой цифр, равной произведению сумм цифр
исходных чисел. Посмотрим, есть ли равные слагаемые. Если , то
, откуда . Так как a, b, x, y – ст(cid:3028)епени(cid:3015) (cid:2879)д(cid:3029)войки(cid:3051), рав(cid:3015)е(cid:2879)н(cid:3052)ство
10 ∙ 10 = 10 ∙ 10
возможно лишь в случаях , (но это одно и то же слагаемое) и , .
(cid:1853) + (cid:1840) − (cid:1854) = (cid:1876) + (cid:1840) − (cid:1877) (cid:1853) + (cid:1877) = (cid:1854) + (cid:1876)
Поэтому у нас всего 10 одинаковых слагаемых, равных , в сумме они дадут .
(cid:1853) = (cid:1876) (cid:1854) = (cid:1877) (cid:1853) = (cid:1854) (cid:1876) = (cid:1877)
Заметим, что никакие другие слагаемые не равны (cid:3015) , так как у всех сла(cid:3015)г(cid:2878)а(cid:2869)емых
10 10
показатель степени чётный. Поэтому сумма слагаемых (cid:3015)б(cid:2878)у(cid:2869)дет заурядным числом, но
10
сумма его цифр будет на 9 меньше, чем произведение сумм цифр исходных чисел.
Вариация. Произведение (x39 + x38 +...+ x32 + x3 +1)(x-39 + x-38 +...+ x-32 + x-3 +1) равно
10 + (x39-38 + x39-37 +...+ x39-3 + x39 ) + (x38-37 +...+ x38-3 + x38 ) +...+ (x32-3 + x32 ) + x3 + ...
(далее идут отрицательные степени x, отличающиеся от положительных только знаком).
Заметим, что степени во всех слагаемых различны, так как любое натуральное число
записывается единственным образом в виде суммы степеней троек, каждая из которых
повторяется не более двух раз (троичная система счисления).
Подставив x = 10 и умножив второй множитель на
1039
, получим два заурядных числа
m и n, их суммы цифр равны 10. Их произведение – заурядное число с суммой цифр 91.

Используемые формулы

  • 10 ∙ 10 = 10 ∙ 10
  • (cid:1853) + (cid:1840) − (cid:1854) = (cid:1876) + (cid:1840) − (cid:1877) (cid:1853) + (cid:1877) = (cid:1854) + (cid:1876)
  • (cid:1853) = (cid:1876) (cid:1854) = (cid:1877) (cid:1853) = (cid:1854) (cid:1876) = (cid:1877)
  • Подставив x = 10 и умножив второй множитель на

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: