Задание №176978: Турнир городов
5. Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, ..., 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме масс двух предыдущих. 5 Вдруг до директора дошёл слух, что один слон похудел. Как ему за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти этого слона или убедиться, что это всего лишь слух? (Ему известно, что ни один слон не потолстел, а похудеть мог максимум один.) Александр Грибалко СОРОК ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 – 11 классы, базовый вариант, 11 октября 2020 г. (Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.) баллы задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число,
а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написан-
ных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди
написанных чисел было
а) [3] хотя бы сто чисел 5;
б) [4] хотя бы сто чисел 10?
(Андрей Аржанцев)
а) Ответ: не всегда.
Пусть Вася действует так: если Петя называл чётное число, Вася его и записывает, а если Петя
назвал нечётное — записывает сумму его и всех чисел на доске. Тогда Вася может записать на
доску нечётное число лишь один раз — когда Петя впервые назвал нечётное число. Значит, на
доске будет написано не более одного нечётного числа, и тем самым не более одной пятёрки.
б) Ответ: всегда.
Как Пете добиться того, чтобы Вася написал на доске число 10:
(1) Если сумма чисел на доске равна 0, то Петя называет число 10, и Вася обязан написать 10.
(2) Если сумма чисел на доске равна 5, то Петя называет число 10, и Вася либо
−
пишет число 10, либо пишет число 5 и попадает в ситуацию (1).
(3) Если сумма чисел на доске равна 5, то Петя называет число 10, и Вася либо пишет число
−
5 и попадает в ситуацию (1), либо пишет число 10 и попадает в ситуацию (2).
− −
(4) Если сумма чисел на доске равна 10, то Петя называет число 15, и Вася либо пишет число
−
15 и попадает в ситуацию (2), либо пишет число 5 и попадает в ситуацию (3).
− −
Заметим, что если на доске другая сумма чисел, скажем n, то Петя может назвать число n+10,
−
и Вася либо напишет число 10, либо попадёт в ситуацию (4). Таким образом, имея любой набор
чисел на доске, мы можем в итоге заставить Васю написать 10. Значит, мы сможем сделать так,
чтобы на доске было 100 десяток.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.