Задание №176833: Турнир городов
5. Хорда DE описанной около треугольника ABC окружности пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно, точка P лежит между D и Q. В треугольниках 10 ADP и QEC провели биссектрисы DF и EG. Оказалось, что точки D, F, G, E лежат на одной окружности. Докажите, что точки A, P, Q, C лежат на одной окружности. Азамат Марданов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [5] Для какого наибольшего N существует N-значное число со свойством: в его
десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра
встречается ровно один раз?
Алексей Глебов
Ответ. Для N = 210 – 1 = 1023. Решение. Будем называть числа со свойством из условия
хорошими, включая также «числа», начинающиеся на 0. Докажем по индукции, что в
хорошем числе, содержащем k различных цифр (1 k 10), не более 2k – 1 знаков.
База (k = 1) очевидна – используется лишь одна цифра, и она не может повторяться.
Шаг индукции. Пусть 1 k 9 и X – хорошее число, содержащее k+1 различных цифр.
По условию одна из цифр a встречается в нём ровно один раз. Заметим, что слева и справа
от этой цифры записаны хорошие числа (число справа, возможно, начинается с нуля), в
каждом из них используется не более k различных цифр, поэтому в каждом из них (по
индукции) не более 2k – 1 знаков, а суммарно в X тогда не более (2k – 1) + (2k – 1) + 1 =
= 2k+1 – 1 знаков, что и требовалось.
Пример хорошего числа, содержащего k различных цифр (1 k 10), в записи которого
ровно 2k – 1 знаков, также построим по индукции.
База (k=1): годится число 1 (берём не 0, чтобы далее итоговое число не начиналось с 0).
Шаг индукции. Пусть 1 k 9 и X – хорошее число, в котором k различных цифр и
2k – 1 знаков. Возьмём цифру, которая не встречается в этом числе (назовём её a), и
припишем к ней слева и справа число X. В полученном числе 2k+1 – 1 знаков, и оно
хорошее: ведь любая его часть из несколько подряд идущих цифр либо включает
единственную в числе цифру a, либо является частью хорошего числа X.
Используемые формулы
Для N = 210 – 1 = 1023.База (k = 1) очевидна – используется лишь одна цифра, и она не может повторяться.индукции) не более 2k – 1 знаков, а суммарно в X тогда не более (2k – 1) + (2k – 1) + 1 == 2k+1 – 1 знаков, что и требовалось.База (k=1): годится число 1 (берём не 0, чтобы далее итоговое число не начиналось с 0).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.