Задание №176832: Турнир городов
4. Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что ABCD 9 разбивается на меньший четырехугольник и 4 треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит S/8. Михаил Малкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [4] Для каждого многочлена степени 45 с коэффициентами 1, 2, 3, ..., 46 (в каком-то
порядке) Вася выписал на доску все его различные действительные корни. Затем он
увеличил все числа на доске на 1. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных
или отрицательных?
Алексей Глебов
Ответ. Поровну. Решение. Заметим, что корни многочленов из условия могут быть
только отрицательными. К каждому многочлену P из условия есть парный P*,
коэффициенты которого записаны в обратном порядке. Заметим, что корни P* обратны
корням P. Следовательно, исходные числа на доске разбиваются на пары взаимно
обратных отрицательных чисел. После прибавления единицы числа из интервала (–1, 0)
станут положительными, а числа, меньшие –1, останутся отрицательными.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.