Задание №176831: Турнир городов
3. Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник. 3 а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата? 6 б) Может ли количество прямоугольников равняться 23? Александр Шаповалов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
7. Ответ: 197 ходов.
Алгоритм. Все ходы будем делать так, чтобы на доске оставались слоны обоих цветов,
пока слонов хотя бы два.
Если есть возможность сделать экономичное взятие (слон за один ход бьёт слона
другого цвета, стоящего с ним на одной диагонали), делаем его.
В противном случае сделаем неэкономичное взятие (за два хода). Выберем двух слонов
разного цвета и рассмотрим путь, по которому первый слон мог бы пройти ко второму за
два хода (такой путь всегда есть). Если на этом пути есть ещё слоны, найдём среди них
двух ближайших друг к другу слонов разного цвета, и пусть один из них собьёт другого за
два хода.
Изначально все слоны стоят на 99 белых диагоналях, параллельных главной белой
диагонали. Тогда на одной из них стоит не меньше двух слонов. Назовём двух из этих
слонов особыми. Если особые слоны разного цвета, экономичное взятие возможно уже на
первом ходу вдоль этой диагонали; сделаем его.
Пусть эти особые слоны белые. Тогда при взятиях будем бить чёрными слонами белых.
После того как будет взят первый особый слон, это ограничение снимается. Заметим, что
сразу после этого возможно экономичное взятие.
Поскольку всего взятий 99 и хотя бы одно из них экономичное, потребуется не больше
299 – 1 = 197 ходов.
Оценка. Расставим произвольным образом по 50 слонов на
нижней и верхней строке доски. При этом на всех 199 белых
диагоналях обоих направлений будут стоять слоны (угловые
белые клетки доски мы считаем «одноклеточными»
диагоналями). За ход число диагоналей, на которых есть слон,
может уменьшиться не более, чем на 1 (поскольку «исчезнуть»
может только та диагональ, с которой уходит слон, делающий
ход). Когда останется один слон, занятых диагоналей будет 2.
Итого, понадобится хотя бы 199 – 2 = 197 ходов.
Старшие классы
Используемые формулы
299 – 1 = 197 ходов.Итого, понадобится хотя бы 199 – 2 = 197 ходов.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.