Задание №176834: Турнир городов

3. Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников

образуют выпуклый многоугольник.
Александр Шаповалов

а) [3] Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата?
б) [6] Может ли количество прямоугольников равняться 23?

а) Ответ: не обязательно. Решение.
См. рисунок слева.


















б) Ответ. Может.

Решение. Приведём пример для произвольного нечётного m = 2n – 1, n > 1. Разобьём
квадрат на n «вертикальных» прямоугольников A , …, A и n – 1 «горизонтальных»
1 n
прямоугольников B , …, B , расположенных так, как показано на рисунке справа.
1 n-1
Центры прямоугольников будем обозначать теми же буквами, что и сами
прямоугольники. Пусть ширина (горизонтальная сторона) прямоугольника A равна a,
i i
высота (вертикальная сторона) прямоугольника B равна b . Тогда тангенс угла наклона
i i
𝑏
прямой A A к горизонтальной оси равен 𝑖 , а тангенс угла наклона прямой B B к
i+1 i i+1 i
𝑎 +𝑎
𝑖+1 𝑖
𝑎
вертикальной оси равен 𝑖+1 . Для выпуклости достаточно подобрать значения a и b так,
i i
𝑏 +𝑏
𝑖+1 𝑖
чтобы обе последовательности тангенсов возрастали с уменьшением i и сумма ширин
𝑎 + ⋯+ 𝑎 была бы больше суммы высот 𝑏 + ⋯+ 𝑏 (тогда мы сможем подобрать
𝑛 1 𝑛−1 1
высоту прямоугольника A так, чтобы получился квадрат, а высоты остальных
n
прямоугольников A и ширины прямоугольников B подберутся автоматически). Сделаем,
i i
1 1
например a = (2i – 1)! и b = (2i)!. Тогда ctg(A A ) = 2i + 1 + , ctg(B B ) = 2i + 2 + .
i i i+1 i i+1 i
2𝑖 2𝑖+1
Нетрудно проверить, что обе последовательности котангенсов убывают с уменьшением i,
а значит, последовательности тангенсов возрастают.