Задание №176835: Турнир городов

Question

7. На столе лежат 2n неразличимых на вид монет. Известно, что n из них весят по 9 г, а остальные n — по 10 г. Требуется разбить их на n пар так, чтобы общий вес каждой 14 пары равнялся 19 г. Докажите, что это можно сделать менее чем за n взвешиваний на чашечных весах без гирь (показывающих, равны ли чаши, а если нет, то какая тяжелее). Александр Грибалко

Официальный разбор · ВсОШ · Accepted Answer

4. [9] Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S. Внутри каждой его стороны
            отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что ABCD
            разбивается на меньший четырехугольник и 4 треугольника. Докажите, что хотя бы у
            одного из этих треугольников площадь не превосходит S/ .              
                                                    8                             
                                                                 Михаил Малкин    
              Решение. Пусть K, L, M и N – точки деления, лежащие на сторонах AB, BC, CD и DA,
            причём AK = aAB, BL = bBC, CM = cCD, DN = dDA. Тогда

S  S  S  S  = (1 – a)bS (1 – b)cS (1 – c)dS (1 – d)aS                
             KBL LCM MDN NAB    ABC     BCD     CDA     DAB                       
                      2       2       2       2         2         2     8  4      
                a +1− a  b +1−b   c +1− c   d +1− d   S + S   S + S   1   S 
                                       ABC CDA   BCD DAB       .
                 2     2     2     2      2       2       2  2    
              Следовательно, одно из чисел S , S , S , S не превосходит           
                                    KBL LCM MDN NAB                               
                                                               1               
                                                               2                  
                                                                               
                                                                 2                
                                                                                 
                                                                  S               
                                                                  2               
                                                                    =             
                                                                     S            
                                                                     8            
                                                                       .

Задание №176835: Турнир городов

Что проверяет это задание

Качество материала

Происхождение задания

Связанные понятия

План самостоятельного решения

Закрепить тему

Решение по шагам

Используемые формулы

Самопроверка после решения

Типичные ошибки