4. Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, н…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Петя загадал положительную несократимую дробь x = m. Можно назвать положительную дробь n 7 у, меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме x + y. Как за …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Два пирата делят 25 золотых монет разного достоинства, выложенные в виде квадрата 5 × 5. Пираты по очереди берут по одной монете с краю (монету можно взять, если 5 слева, или сп…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что ABCD 9 разбивается на меньший ч…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дан треугольник ABC с углом A, равным 60◦. Его вписанная окружность касается стороны AB в точке D, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается продолжения стороны…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее 5 двух). Среди любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в 2 раза или в 5 раз. Может ли сумма всех э…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всевозможных кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын рас- 5 кладывает куски сыра на те же тарелки. …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Докажите, что при некотором натуральном N строго между соседними кубами N3 и (N + 1)3 8 находится ровно 1000 точных квадратов. Алексей Толпыго…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. а) В тридевятом царстве n городов. Иван-царевич строит дороги по одной (сначала дорог нет). Каждый раз он выбирает два города, не соединённых напрямую дорогой, расстояние между …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) известен острый угол ∠BAC = = 15◦. Через вершину B проведена прямая, пересекающая высоту CH и катет AC в точках √ M и N соотве…

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) известен острый угол: ∠BAC = = arcsin 5 . Луч с началом в точке B наклонен под углом φ к гипотенузе и пересекает высоту 13 CH …

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) гипотенуза AB = 10. Через вершину B проведена прямая, пересекающая высоту CH и катет AC в точках M и N соответственно. Известн…

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) проведена высота CH. Луч с началом в точке B наклонен под углом 45◦ к гипотенузе и пересекает отрезки CH и AC в точках M и N с…

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) на отрезке BC выбрана точка M так, что BM : MC = 4 : 3. Отрезок AM пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 6, …

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) медиана AM пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 6, KN = 4. Найдите площадь треугольника ABC.…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) на отрезке BC выбрана точка M так, что BM : MC = 4 : 3. Отрезок AM пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 3, …

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) медиана AM пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 3, KN = 2. Найдите площадь треугольника ABC.…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике XY Z на катете XZ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу XY в точке W. Через точку W проведена касательная к окр…

ОММО 2020 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к окру…

ОММО 2020 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от неё до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 9, до вершины C равно 3. Най…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от неё до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Най…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от неё до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 6, до вершины C равно 4. Най…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

Задача 4. Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от неё до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Най…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→