Задание №176697: ОММО 2026

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) известен острый угол ∠BAC = 15◦. Через
вершину B проведена прямая, пересекающая высоту CH и катет AC в точках M и N соответственно.
√
Известно, что площадь треугольника NAB равна 3 − 3, а периметры треугольников BCM и MCN
одинаковы. Найдите расстояние от вершины A до прямой BN.
√
Ответ: 6.
Решение. Пусть угол наклона прямой BN к гипотенузе равен φ. Рассмотрим вневписанные окруж-






























ности треугольников BCM и MCN с центрами в точках O и O соответственно. Они касаются
1 2
продолжения высоты CH в одной и той же точке H . Докажем это. Пусть периметр треугольник
1
BCM равен 2p. Поскольку BK = BK и MH = MK (как отрезки касательных, проведенных к
1 1
окружности из одной точки), то CK + CH = CB + BK + CM + MK = CB + BM + CM = 2p. Но
1 1
CK = CH (как отрезки касательных). Отсюда следует, что CH = p. Точно так же для треуголь-
1 1 1
ника CMN и вневписанной окружности с центром O получим, что точка касания с продолжением
2
высоты CH совпадает с H , поскольку по условию периметры треугольников BCM и MCN равны.
1
Следовательно, H является точкой внешнего касания вневписанных окружностей.
1
Центры окружностей лежат на пересечении отрезка A B ∥ AB (отрезок A B проходит через точку
1 1 1 1
H перпендикулярно CH) с биссектрисами углов ∠BCH = α и HCA = 90◦ − α, где α = ∠BAC = 15◦.
1
Радиусы вневписанных окружностей равны O K = O H = ptg α и O L = O H = ptg(45◦ − α).
1 1 1 2 2 2 1 2
Проведем из точки O перпендикуляр к отрезку O L. Основанием этого перпендикуляра является
1 2
точка D. Очевидно, O D ∥ BN, поэтому ∠DO O = φ. Из прямоугольного треугольника O O D
1 1 2 1 2
найдем
DO O L − DL O H − O H p(tg(45◦ − α) − tg α)
sinφ = 2 = 2 = 2 1 1 1 = 2 2 .
O O O H + O H O H + O H p(tg(45◦ − α) + tg α)
1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2

Выполним упрощение тригонометрического выражения:
tg(45◦ − α) − tg α 1−t − t 1 − t2 − 2t α
2 2 = 1+t = , t = tg .
tg(45◦ − α) + tg α 1−t + t 1 + t2 2
2 2 1+t
Поскольку 1−t2 = cosα, 2t = sinα, получим sinφ = cosα − sinα = cos15◦ − sin15◦ = cos(45◦ − 35◦) −
1+t2
√
1+t2
√ √
sin(45◦ −35◦) = 2(cos30◦ +sin30◦ +sin30◦ −cos30◦) = 2 ·2sin30◦ = 2. Отсюда следует, что φ = 45◦.
2 2 2
Выразим теперь площадь треугольника NAB. Опустим перпендикуляр из вершины A на прямую
BN, точка P – основание перпендикуляра. Нам нужно найти длину отрезка AP. В прямоугольном
треугольнике ABP с острым углом φ = 45◦: BP = AP, BN = BP − NP = AP(1 − ctg 60◦). Площадь
√ √
NAB можно найти по формуле 1BN · AP = 1AP2(1 − 1/ 3). По условию, это 3 − 3, откуда найдем
√ 2 2
AP2 = 6, AP = 6.