Задание №176677: ОММО 2026

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) гипотенуза AB = 10. Через вершину B
проведена прямая, пересекающая высоту CH и катет AC в точках M и N соответственно. Известно,

что расстояние от точки A до этой прямой равно 6, а периметры треугольников BCM и MCN равны.
Найдите BC.
√
Ответ: 41 − 3.
Решение.






























Пусть угол наклона прямой BN к гипотенузе равен φ. Рассмотрим вневписанные окружности

треугольников BCM и MCN с центрами в точках O и O соответственно. Они касаются продолжения
1 2
высоты CH в одной и той же точке H . Докажем это. Пусть периметр треугольник BCM равен 2p.
1
Поскольку BK = BK и MH = MK (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной
1 1
точки), то CK +CH = CB +BK +CM +MK = CB +BM +CM = 2p. Но CK = CH (как отрезки
1 1 1 1
касательных). Отсюда следует, что CH = p. Точно так же для треугольника CMN и вневписанной
1
окружности с центром O получим, что точка касания с продолжением высоты CH совпадает с H ,
2 1
поскольку по условию периметры треугольников BCM и MCN равны. Следовательно, H является
1
точкой внешнего касания вневписанных окружностей.
Центры окружностей лежат на пересечении отрезка A B ∥ AB (отрезок A B проходит через
1 1 1 1
точку H перпендикулярно CH) с биссектрисами углов ∠BCH = α и HCA = 90◦ − α, где ∠BAC = α
1
– угол, который нужно найти. Радиусы вневписанных окружностей равны O K = O H = ptg α и
1 1 1 2
O L = O H = ptg(45◦ − α). Проведем из точки O перпендикуляр к отрезку O L. Основанием этого
2 2 1 2 1 2
перпендикуляра является точка D. Очевидно, O D ∥ BN, поэтому ∠DO O = φ. Из прямоугольного
1 1 2
треугольника O O D найдем
1 2
DO O L − DL O H − O H p(tg(45◦ − α) − tg α)
sinφ = 2 = 2 = 2 1 1 1 = 2 2 .
O O O H + O H O H + O H p(tg(45◦ − α) + tg α)
1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2

Выполним упрощение тригонометрического выражения:
tg(45◦ − α) − tg α 1−t − t 1 − t2 − 2t α
2 2 = 1+t = , t = tg .
tg(45◦ − α) + tg α 1−t + t 1 + t2 2
2 2 1+t
1 − t2
Поскольку = cosα, 2t = sinα, получим
1 + t2 1+t2
sinφ = cosα − sinα, 0◦ < α ≤ 45◦.
Умножим это равенство на AB, тогда AB sinφ = AB cosα − AB sinα, но AB sinφ = AP, где P –
основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую BN. Таким образом, AP = AC−BC.
√ √
По условию AP = 6 и AC2 + BC2 = AB2 = 100. Отсюда AC = 41 + 3, BC = 41 − 3.