Задание №176397: ОММО 2019

Задача 4. Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние
от неё до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 6, до вершины C равно 4. Найти
площадь треугольника ABC.
5√
Ответ: 13 + 23.
2




7

ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант II


O A
5
Первое решение. Рассмотрим поворот вокруг точки A на угол 90◦, ко-
торый переводит точку C в точку B. Пусть при этом повороте точка O
переходит в точку D; тогда отрезок BD является образом отрезка CO; 5
поскольку при повороте длина отрезков не меняется, BD = CO = 4. Полу- 6
чаем четырёхугольник OADB, в котором OA = AD = 5, BD = 4, OB = 6,
∠OAD = 90◦ (см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими спосо-
D
бами.
4
B
Первый способ. Рассмотрим систему координат, в которой точка O имеет координаты (0,0), точка A
имеет координаты (5,0), точка D — координаты (5,−5). Найдём координаты точки B(x,y), учитывая,
что OB = 6 и DB = 4, т.е.
(cid:26)
x2 + y2 = 36
(x − 5)2 + (y + 5)2 = 16
Вычитая из первого уравнения второе, получаем 10x − 10y − 50 = 20, откуда x − y = 7. Подставляя
√ √
x = y + 7 в первое уравнение, получаем 2y2 + 14y + 13 = 0, откуда y = −7± 23, x = 7± 23. Поскольку
2 2√ √
точка B должна лежать по ту же сторону относительно AD, что и точка O, то y = −7− 23, x = 7− 23.
√ √ 2 2
AB2 (x − 5)2 + y2 ((7 − 23)/2 − 5)2 + ((7 + 23)/2)2 √
Наконец, S = = = = 13 + 5 23.
2 2 √ 2 2
Второй способ. Для начала заметим, что OD = 5 2, ∠ODA = 45◦. Обозначим ∠ODB = ϕ. Тогда
по теореме косинусов для треугольника ODB имеем
√ √
OD2 + BD2 − OB2 (5 2)2 + 42 − 62 30 3 2
cosϕ = = √ = √ = ,
2 · OD · BD 2 · 5 2 · 4 2 · 5 2 · 4 8
(cid:113) √
а тогда sinϕ = 1 − 18 = 46. Теперь, по теореме косинусов для треугольника ADB, получаем
64 8
AB2 AD2 + BD2 − 2 · AD · BD · cos(ϕ + 45◦) 25 cosϕ − sinϕ 5√
S = = = + 8 − 5 · 4 · √ = 13 + 23.
2 2 2 2 2
Второе решение. Пусть AB = AC = x, ∠OAB = ϕ. По теореме косинусов
для треугольников OAB и OAC имеем:
62 = x2 + 52 − 10xcosϕ C
42 = x2 + 52 − 10xsinϕ
4
откуда
x
10xcosϕ = x2 − 11 O
5 6
10xsinϕ = x2 + 9
ϕ
A B
x
Возводя эти неравенства в квадрат, после сложения, получаем квадратное
уравнение на x2: 100x2 = 2x4 −4x2 +202, x4 −52x2 +101 = 0. Корнями этого
уравнения являются
√
x2 = 26 ± 5 23.
1,2
√
Заметим, что 26 − 5 23 < 25, и в этом случае x < AO, то есть точка O не будет лежать внутри
√
треугольника, поэтому S = x2 = 13 + 5 23.
2 2
8

ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант II


C
План третьего решения. Отразим точку O симметрично
относительно сторон AB, AC и BC треугольника ABC; обо-
значим образы через X, Y и Z соответственно. (см. рисунок)
Z
Тогда AY = AX = AO, CY = CZ = CO, BX = BZ = BO.
Простым счётом углов убеждаемся, что ∠Y CZ = 2∠ACB =
90◦, ∠XBZ = 2∠ABC = 90◦, ∠XAY = 2∠BAC = 180◦.
Площадь пятиугольника XY CZB в два раза больше площа- Y O
ди треугольника ABC. С другой стороны, площадь XY CZB
складывается из площади двух прямоугольных треугольни-
ков Y CZ и XBZ, в который нам известен катет, а также B
A
треугольника XY Z, у которого нам известны все стороны,
поэтому его площадь мы можем найти, например, восполь-
зовавшись формулой Герона.
X